El secreto de enseñar matemáticas

Antonio J. Durán. Soy Antonio Durán. A mí me gusta describirme como matemático y escritor. He dedicado buena parte de los últimos 35 años a hacer investigación matemática, matemáticas nuevas, y también a escribir ensayo científico y alguna que otra novela.

Ana Irizar. Hola, Antonio. Soy Ana, soy matemática, soy profesora de un colegio de secundaria y bachillerato, y me gustaría charlar un poco contigo. Eres catedrático de Análisis matemático, eres divulgador científico, eres historiador, escribes cosas relacionadas con la historia… Un sinfín de facetas que salen de tu curiosidad. Y desde esa curiosidad me gustaría que nos contaras un poco qué historia esconden las matemáticas, si es necesario conocerla y realmente qué relación tienen con nuestra condición humana.

Antonio J. Durán. Efectivamente, yo me dedico profesionalmente a la investigación matemática, o sea, produzco matemáticas nuevas, pero también he dedicado mucho tiempo a escribir ensayo científico y también alguna novela. Y todo esto lo he hecho movido por mi interés y curiosidad por la por la condición humana, precisamente por la condición humana. La condición humana está polarizada entre una parte racional, concretada en la estructura lógica del cerebro humano, y que es reciente en términos evolutivos, y una parte emocional que corresponde a etapas evolutivas muy antiguas. Las matemáticas y la ciencia se asocian habitualmente con la parte racional. De hecho, no es raro que se pongan como ejemplo de actividad racional del ser humano las matemáticas y la ciencia. Pero también tienen una parte emocional porque, a fin de cuentas, las matemáticas y la ciencia son obra de seres humanos y es inevitable que esa impronta de la parte emocional no esté también ahí. Yo a eso lo llamo «las circunstancias emocionales» de las matemáticas o de la ciencia, que son las circunstancias históricas, sociales, individuales, de las personas que han ido haciendo matemáticas y ciencia a lo largo de la historia. Entonces, en el caso de las matemáticas, se produce una cercanía, que desde mi punto de vista es muy interesante, entre la parte muy racional de las propias matemáticas y la parte emocional de las personas que hacen matemáticas. Y eso es posible usarlo: de alguna manera, eso nos va a permitir una mejor comprensión de lo que es la condición humana. Esa cercanía entre la parte racional y la parte emocional que, en particular, se da en las matemáticas.

Ana Irizar. En uno de tus libros nos describes… A ver, matemáticas, por definición, es la ciencia que estudia las propiedades de los números y la relación entre ellos. Pero tú a los matemáticos nos llamas «detectives en busca de un secreto». Explícanos un poco esta definición de matemático.

Antonio J. Durán. A ver, por describir las matemáticas con dos palabras: las matemáticas son descubrir y demostrar. Descubrir y demostrar. Las matemáticas buscan secretos en sistemas de objetos que tienen algún tipo de propiedades en común, como pueden ser los números o como pueden ser figuras geométricas, o cada vez más cosas. Esos sistemas de objetos cada vez se han ampliado más e incluyen más cosas distintas. De manera que yo entiendo que las matemáticas son eso: buscar secretos en sistemas de objetos que tienen alguna característica común. Por poner un ejemplo que todo el mundo conoce: el teorema de Pitágoras. Pues, en este caso, el sistema de objetos son triángulos que tienen un ángulo recto. Y entonces, el secreto que se ha encontrado ahí… Que no lo encontró Pitágoras, lo conocían ya los babilonios y mucho antes. Pero el secreto que se esconde ahí es que ese hecho de que el triángulo tenga un ángulo recto implica una relación muy precisa entre las longitudes de los lados, que es lo que todo el mundo conoce como el teorema de Pitágoras: la hipotenusa al cuadrado es la suma de los cuadrados de los catetos. Pues eso es un secreto que había en ese sistema de objetos y que, aparentemente, no tenía relación, porque una cosa es el ángulo recto y otra cosa es esa relación entre los lados.

Pues en eso consisten las matemáticas, en descubrir secretos y luego demostrarlos de manera impecablemente lógica. La razón de que sea necesaria la demostración, que es la gran aportación griega –entendemos que las matemáticas son lo que son desde que los griegos impusieron esa necesidad de que había que hacer demostración– es por el tipo de secretos que encuentran las matemáticas, que es muy general. El teorema de Pitágoras se refiere a todos los triángulos rectángulos, a todos. Y obviamente no podemos comprobar si eso es verdad o no. Podemos comprobar con unos cuantos triángulos, pero no con todos. Y el teorema de Pitágoras dice que eso vale para todos. Ese tipo de afirmaciones tan rotundas, tan generales, necesitan la demostración. Es muy importante también señalar que esto de descubrir y demostrar son cosas absolutamente distintas, y la actitud del matemático cuando descubre o cuando demuestra es completamente diferente. Cuando el matemático descubre, vive en la tierra de la libertad, de la libertad absoluta. O sea, se puede dejar llevar, para hacer un descubrimiento, por todo tipo de emociones, emociones estéticas, e irracionalidad. El descubrimiento puede ser fruto de la máxima irracionalidad. No importa.

Había un matemático, uno de los grandes matemáticos del siglo XIX, Georg Cantor, que justamente decía que la esencia de las matemáticas es la libertad, y se refería a cuando uno está buscando un descubrimiento. Ahí eres absolutamente libre. Otra cosa es cuando entiendes que has encontrado el descubrimiento y lo tienes que demostrar. Ahí te tienes que atar a la lógica, tiene que ser una concatenación de razonamientos lógicos. Ahí no hay libertad ninguna. En términos clásicos, en la dicotomía entre Dionisio y Apolo, el descubrimiento tiene las características de un acto dionisíaco. Es apasionado por necesidad, libre. En cambio, la demostración tiene las características de una actividad apolínea: te tienes que atar a las reglas, estás totalmente atado a las reglas, en este caso, de la lógica. Pues eso son las matemáticas: descubrir y demostrar.

Ana Irizar. ¿Las matemáticas nos podrían ayudar… nos ayudan, realmente, hoy a resolver problemas de nuestra sociedad actual, de nuestros problemas en la sociedad?

Antonio J. Durán. Ayuda, y lleva ayudando muchos siglos. Digamos que hay dos características que permiten esta ayuda de las matemáticas. La primera es que las matemáticas son capaces de predecir y, por tanto, si tenemos modelos matemáticos para la física o para la economía… La capacidad de predicción que tienen las matemáticas en los modelos, se acaba traduciendo, si los modelos son correctos, en capacidad de predicción sobre lo que nos rodea. La otra característica es que, usando la gran potencia de cálculo que tienen los ordenadores actuales, hemos sido capaces de reducir prácticamente todo a números. Una composición musical, la reducimos a números, un texto literario, lo reducimos a números, una película, la reducimos a números, y a esos números les podemos aplicar tratamiento matemático y estadístico. Y estamos empezando a lograr con eso cosas insospechadas. Entonces voy a explicar un poco mejor esto de la capacidad de predicción de las matemáticas. En cierta manera, eso son los secretos: cada vez que un matemático descubre un secreto, justamente está teniendo capacidad de predecir cómo se van a comportar los objetos que verifican esas propiedades comunes. Eso es lo que dice el teorema de Pitágoras: si tenemos un triángulo rectángulo, predecimos qué va a pasar con las longitudes de los lados. Entonces, eso es fundamental en las aplicaciones de las matemáticas, en física, en economía, en medicina, incluso.

Y voy a poner un ejemplo que acabó significando una revolución en las sociedades humanas, que es el descubrimiento de las ondas electromagnéticas. Eso generó una revolución en todo lo que significa comunicación: la radio, la televisión, actualmente los móviles… todo eso usa ondas electromagnéticas. Entonces voy a contar cómo se descubrieron las ondas electromagnéticas para que se vea qué papel tuvieron ahí las matemáticas y cómo ayudaron en ese descubrimiento. La historia empieza cuando, hacia 1860, un físico matemático escocés, James Maxwell, propone un modelo matemático para el campo electromagnético. Un modelo matemático para el campo electromagnético. Ese modelo matemático, por decirlo en términos técnicos, consiste en un sistema de ecuaciones en derivadas parciales. Unas cuantas ecuaciones matemáticas muy sofisticadas. Y ahora, pues Maxwell tenía el modelo matemático y se puso a hacer matemáticas en ese modelo. Se puso a jugar con las ecuaciones y acabó llegando a que esas ecuaciones… Acabó descubriendo un secreto matemático: que esas ecuaciones acababan transformándose, él las podía transformar en lo que se llama «ecuaciones de onda», que son ecuaciones que se sabía que determinadas ondas verificaban.

Entonces él concluyó, eso le sugirió que, asociado al campo electromagnético, había ondas, algo que no se sabía, que nadie había detectado. Eso fue un descubrimiento, una predicción que él hizo teniendo en cuenta las matemáticas del modelo que había diseñado. O sea, él dijo: «Oye, pues parece que las matemáticas están diciendo que, asociado al campo electromagnético, hay ondas electromagnéticas». El modelo matemático le permitía a él calcular a qué velocidad se iban a mover las ondas electromagnéticas. Entonces él cogió constantes del electromagnetismo y calculó a qué velocidad supuestamente se iban a mover esas ondas electromagnéticas, y encontró que era exactamente a la velocidad de la luz. Y se quedó absolutamente sorprendido. O sea, este tipo de ondas que nadie conoce ni nadie ha visto ni detectado se mueven con la misma velocidad que las ondas lumínicas. Y entonces concluyó que las ondas lumínicas eran un caso de ondas electromagnéticas. Y eso fue un resultado impresionante, porque hasta ese momento los fenómenos de la luz y los fenómenos eléctricos y magnéticos estaban absolutamente separados. Nadie entendía que tuvieran nada que ver. Y el modelo matemático le estaba sugiriendo a Maxwell que, en realidad, la luz, los fenómenos de la luz eran una parte de las ondas electromagnéticas. Esto de las ondas electromagnéticas es un éxito indiscutible de la ciencia y la tecnología: la física teórica, la física experimental, la ingeniería… Pero indiscutiblemente, las matemáticas están en el origen. Por esa capacidad de predecir. El modelo matemático que usó Maxwell le permitió predecir todo este tipo de cosas.

La mayor parte de las matemáticas no es fácil. Y entre las cosas que son todavía más difíciles, está enseñarla, porque actualmente o desde hace mucho tiempo se hace mucho hincapié en la parte menos interesante de las matemáticas, que es el aprendizaje, la memorización de fórmulas y luego la aplicación en casos más o menos estándar. Empezando por lo primero que se enseña a los niños, que es hacer operaciones con los números: sumar, multiplicar y dividir. Eso, intrínsecamente, son procesos algorítmicos muy aburridos. De hecho, los griegos no consideraban que eso fueran matemáticas. Esa parte la metían dentro de la logística, era lo que llamaban «logística», y no era matemáticas porque carecía del elemento creativo que los griegos entendían que tenían que tener las matemáticas. Luego, cuando se llega a una parte un poquito más interesante desde el punto de vista creativo, como la geometría elemental –por ejemplo, la parte del teorema de Pitágoras y demás–, habitualmente lo que se enseña es lo menos interesante: la fórmula. Hay que memorizar la fórmula de: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos y aplicarla miméticamente a triángulos. Y no se hace el suficiente hincapié en lo que significa eso como descubrimiento de un secreto.

Esa fórmula viene del ángulo recto que hay en el triángulo. Con el que aparentemente las longitudes de los lados no tendrían mucho que ver. Entonces eso se obvia. Se obvia la demostración, habitualmente, cuando se enseña el teorema de Pitágoras. Se obvia la parte más creativa, más interesante de las matemáticas. Desde mi punto de vista, habría que hacer más hincapié en esa parte creativa, imaginativa, de reto que tiene la resolución de problemas. Esto, desde luego, es más fácil decirlo que hacerlo, porque ese enfoque potencia los aspectos más difíciles de las matemáticas. Es mucho más difícil ser creativo, resolver problemas sobre los que no tienes un patrón para resolverlos de la misma manera que aplicar miméticamente unas cuantas fórmulas a problemas más o menos estándar.

Ana Irizar. Sí, es difícil. Y además, muchas veces los alumnos nos dicen: «¿Para qué estudio esto si no me va a valer de nada?». Por ejemplo, las raíces cuadradas. «¿Para qué estudio una raíz cuadrada, si luego no la voy a usar en la vida?»

Antonio J. Durán. En fin, yo creo que las raíces cuadradas, efectivamente, ahora mismo con las calculadoras y tal, tampoco tiene mucho sentido. Yo pienso que ganaríamos enfocando las matemáticas, enseñándolas, con esta perspectiva más creativa. Ya digo que eso es muy difícil, pero sí es verdad que contamos con algunos países que tienen cierta tradición en este tipo de enseñanza con unos resultados realmente excelentes. Y el caso paradigmático es Hungría. Hungría lleva desde el siglo XX, a lo largo del siglo XX, generando una cantidad de matemáticos buenísimos y científicos en general buenísimos que es incomprensible teniendo en cuenta el tamaño de su población. Ellos, desde hace siglo y medio, tienen un concurso de retos matemáticos que se llama Eötvös que tiene mucha influencia en la enseñanza de las matemáticas, porque una buena parte de la enseñanza de las matemáticas se estructura de manera que a los escolares se les prepara para ese concurso, que es de retos y problemas matemáticos que no se resuelven aplicando una simple fórmula mimética a un caso que han hecho antes. De manera que quizá no es tan descabellado esto que digo, no es tan difícil.

Ana Irizar. Antes hablabas de Pitágoras. ¿Qué diferencia había en el estudio de las matemáticas en la época de Pitágoras, de Einstein o en nuestra época? ¿Cómo podían trabajar ellos? ¿Qué diferencias habría?

Antonio J. Durán. Bueno, esto me va a permitir un curso acelerado de historia de las matemáticas en cinco minutos. En esencia, desde los griegos, las matemáticas son descubrir y demostrar. De hecho, había un matemático inglés, John Littlewood, que, con mucha gracia, cuando se refería a Arquímedes o a algún griego clásico, los llamaba «nuestros colegas de otra universidad», haciendo referencia a que seguimos haciendo lo mismo: descubrir y demostrar. En ese sentido, las matemáticas no han cambiado. Lo que sí ha cambiado muchísimo es el tipo de problemas matemáticos que nos planteamos, el tipo de objetos que estudiamos desde el punto de vista matemático y las herramientas matemáticas que hemos desarrollado en 2.500 años. Los griegos, esencialmente, hicieron geometría de triángulos o de curvas como la circunferencia o la parábola, o de objetos sólidos como la esfera o el cono. Los griegos no prestaron mucha atención, por ejemplo, a un desarrollo eficiente para hacer operaciones con números. Eso no les interesó, ya te digo que no lo consideraban matemáticas, era logística. Y tampoco prestaron mucha atención al álgebra en el sentido de resolución de ecuaciones. Ellos, casi todo lo que hicieron fue geometría de un nivel tan excelente que se tardaron dos mil años en ir más allá de lo que hicieron ellos. La cuestión del cálculo con números se desarrolló en la Edad Media. El sistema de numeración que usamos en la actualidad es de origen indio, traído a Europa por los árabes, que también dedicaron mucha atención al álgebra.

Y todo ese legado griego se empezó a superar a partir del siglo XVII. En el siglo XVII se hicieron dos descubrimientos absolutamente revolucionarios. Uno fue este que ya he comentado de Descartes, de la geometría analítica, que mostró que la geometría y el álgebra que se hacían en ese momento eran lo mismo; estaban haciendo lo mismo con distinto lenguaje. Y el otro gran descubrimiento, el más fundamental del siglo XVII, fue el cálculo infinitesimal, donde empezó a entrar el infinito, que es una herramienta matemática fascinante, y entonces produjo el cálculo infinitesimal. El cálculo infinitesimal es la herramienta más potente, más poderosa que han desarrollado los matemáticos para el estudio de la naturaleza. Hay una frase muy celebre de Galileo que dice: «El libro de la naturaleza está escrito en caracteres matemáticos». Esta frase, la escribió Galileo en 1623, si no recuerdo mal. Y lo que significaba en ese momento era algo muy naíf, muy poco profundo. Galileo se refería a la geometría, a que había determinados problemas físicos que se resolvían con alguna figura geométrica que ya habían estudiado los griegos. El mismo Galileo mostró que la trayectoria de una bala de cañón sin rozamiento corresponde con una parábola. A eso se refería a Galileo.

Pero medio siglo después de Galileo, se descubre el cálculo infinitesimal, y entonces el cálculo infinitesimal le da un significado a la frase de Galileo de una profundidad que Galileo, con seguridad, ni siquiera se imaginó. Efectivamente, el libro de la naturaleza está escrito en caracteres matemáticos, pero no son geométricos, es el lenguaje del cálculo infinitesimal. Son derivadas, son integrales y son ecuaciones diferenciales. Diferenciales como las que aparecen en el modelo de Maxwell para el electromagnetismo. Eso cambió las matemáticas. A partir de ahí, se superó el legado griego por primera vez y hubo una explosión matemática que llega a nuestros días. La geometría se alió con el cálculo infinitesimal y surgió la geometría diferencial. Surgieron áreas nuevas, como la topología o la probabilidad. Y así, hasta nuestros días, en un crecimiento exponencial de la cantidad de matemáticas que se van haciendo. Y es muy significativo reseñar que, cuando a principios del siglo XX se desarrollan las dos teorías fundamentales de la física que revolucionaron toda la física clásica, como la relatividad de Einstein y la mecánica cuántica, las matemáticas ya habían desarrollado las herramientas que Einstein, por ejemplo, necesitaba para formular la teoría de la relatividad. O sea, las matemáticas anticiparon de alguna manera las herramientas que iban a necesitar los físicos para el desarrollo de esas dos teorías físicas fundamentales.

Ana Irizar. Hemos oído hablar muchas veces, y lo hemos leído en alguno de tus libros, sobre el valor estético de las matemáticas. Que las matemáticas están relacionadas con la estética, con la belleza. ¿Nos podrías contar un poquito si es así y por qué?

Antonio J. Durán. Sí. La belleza en matemáticas es una circunstancia de la máxima importancia. Como ya he explicado antes, las matemáticas son búsqueda de secretos, descubrir y demostrar. Y tanto para el descubrimiento como la demostración, lo que usamos los matemáticos son combinaciones de ideas matemáticas. Combinamos ideas matemáticas para hacer un descubrimiento o para hacer una demostración. Es lo mismo que ocurre en un cuadro: en un cuadro se combinan colores y, depende de cómo lo hagas, te sale una cosa que tiene valor estético, tiene capacidad de emocionarte… Tiene belleza. Igual que en un poema se combinan palabras con la misma potencialidad de tener belleza o en una composición musical se combinan sonidos, pues lo que se hace en matemáticas es combinar ideas matemáticas. Y eso tiene valor estético, tiene potencial de tener belleza. Esto lo explicó como nadie uno de los mejores matemáticos del siglo XX, Harold Hardy, en un librito que yo recomiendo cada vez que tengo ocasión: «Apología de un matemático», un libro absolutamente apasionado. Y parte del libro está dedicado a esta cuestión de los valores estéticos de las matemáticas. Seguro que el público se pregunta por qué tenemos tanta dificultad para verlo. Pues, desde mi punto de vista, es cuestión, simplemente, de que carecemos de un sentido fisiológico. Es una cuestión fisiológica: carecemos de un sentido que ponga a disposición del cerebro esa combinación de ideas matemáticas.

Si miramos el caso del cuadro, hay un sentido que es el de la vista, que cuando nosotros miramos un cuadro, automáticamente, le transmite al cerebro cómo se combinan los colores, cuál es el tratamiento de la luz en el cuadro… Eso queda automáticamente a disposición del cerebro, y el cerebro decide si aquello le genera emoción y si encuentra belleza en esa combinación de colores y formas. En el caso de la música tenemos otro sentido, que es el oído, que automáticamente pone a disposición del cerebro cuál es la combinación de tonalidades, de timbres, de melodías, y el cerebro decide si aquello le gusta, si le parece que encierra belleza o no. En el caso de las matemáticas, carecemos de ese sentido. O sea, tú, para darte cuenta de cuál es la combinación de ideas matemáticas en un teorema, tienes que leerlo con mucha atención, tienes que pensar sobre lo que allí se está diciendo, tienes que aislar las distintas ideas y ver cómo se combinan, tienes que tener una serie de conocimientos previos… O sea, es muy esforzado llegar a tener en la cabeza cuál es la combinación de ideas matemáticas. Al carecer de un sentido específico, es mucho más complicado. Pero cuando te das cuenta de eso, ahí estalla la belleza. Estalla. Como en la pintura, y yo diría que de manera mucho más profunda.

Lo interesante del caso es que, en matemáticas, la belleza es un motor de desarrollo. Eso es fundamental entenderlo. Buena parte de las matemáticas se ha desarrollado por cuestiones estéticas, justamente buscando combinaciones muy armónicas de ideas matemáticas. Buena parte de las teorías, de alguna manera, muchas veces tienen éxito dependiendo del valor estético que atesoren. Esto es algo que se encuentra leyendo a los más grandes matemáticos: siempre apelan a cuestiones de estética en el desarrollo de las teorías matemáticas. O sea, que en el caso de las matemáticas, esto va más allá de: «Ay, qué bonito es este teorema», sino que sirve para el mismo desarrollo de las matemáticas. Y otra cosa interesantísima es que, en el último siglo, los matemáticos hemos contagiado a los físicos con estas cuestiones del valor estético. El mismo Einstein, en sus inicios científicos era muy descreído de las cuestiones de la elegancia y la belleza matemática. Pero acabó convenciéndose y, de hecho, le debe mucho a esta importancia de la belleza de las matemáticas en el desarrollo de la teoría general de la relatividad. Y acabó reconociéndolo. Acabó reconociendo la importancia de la simplicidad matemática, de la belleza matemática en las leyes físicas.

O Paul Dirac. Fue otro de los grandes físico del siglo XX, uno de los padres de la mecánica cuántica, que llegó a decir, llegó a exigir: «Toda teoría física tiene que tener belleza matemática». Si pensamos un poco en esto, es absolutamente irrazonable. Esto de que la belleza, en términos matemáticos, la belleza de las combinaciones de ideas matemáticas tenga influencia en la física es algo absolutamente irrazonable, porque las matemáticas son, en cierta manera, descubrir secretos en sistemas de objetos que al matemático le interesa que tengan un cierto valor estético. Pero el propósito de la física es explicar el mundo que nos rodea, es explicar el cosmos, explicar el mundo atómico. Y es totalmente irrazonable que para eso valga el sentido de belleza que los matemáticos quieren para sus teorías. De hecho, hay un célebre artículo de un Premio Nobel de Física, un húngaro, Eugene Wigner, emigrado a los Estados Unidos antes de la Segunda Guerra Mundial, que precisamente se titula así: «La irrazonable eficacia de las matemáticas en la física». Justamente llama la atención de cómo es posible que el valor estético de las matemáticas acabe influyendo en la explicación de la naturaleza. Pero es así.

Ana Irizar. Antonio, antes hablabas del cosmos. Tú tienes un libro sobre una historia de la astronomía. Cuéntanos un poquito acerca de ese libro y la relación que tenemos los matemáticos con la astronomía, porque yo creo que hay bastante relación. Cuéntanos.

Antonio J. Durán. Sí, efectivamente. Yo tengo «El universo sobre nosotros», una historia de la astronomía, porque para mí fue irresistible escribir sobre astronomía, porque me parece la aventura intelectual más fascinante que ha protagonizado la humanidad. El conocimiento y las explicaciones que hemos dado a lo que se ve en el cielo. Y me pareció irresistible escribir. Soy matemático, pero bueno, tenía conocimiento suficiente como para meterme en una historia de la astronomía porque, ya te digo, me parece la aventura intelectual más fascinante y donde las matemáticas también han tenido mucho protagonismo. Bueno, lamentablemente, hoy hemos perdido esa fascinación de ver el cielo nocturno, porque la iluminación eléctrica en las ciudades fue una gran conquista, pero nos ha hurtado uno de los espectáculos más grandiosos que hay. Hoy, para poder disfrutar de un cielo nocturno, hay que perderse lejos de las ciudades, donde no haya contaminación lumínica. La historia de la astronomía comienza, como muchas otras cosas, con los griegos, cuando inventan el concepto de «cosmos», que es un universo comprensible, es la búsqueda racional de la explicación de lo que vemos en el cielo pensando que puede ser conocible, que lo podemos conocer, y que se rige por unas leyes sencillas, simples y formuladas en términos matemáticos. Eso, a fin de cuentas, es el cosmos. Y es absolutamente fascinante cómo se les pudo ocurrir esa idea, porque hoy ya nos hemos acostumbrado, después de 2.500 años de cosmos, pero es absolutamente fascinante.

El mismo Einstein decía que lo más fascinante del cosmos, lo más impresionante del cosmos, es que sea comprensible. Lo más fascinante del universo es que sea comprensible, que sea un cosmos del estilo que pensaban los griegos. Antes del cosmos, las explicaciones de lo que había en el cielo eran animistas o mágicas o religiosas o supersticiosas. Nada que ver con la búsqueda de la razón en el cosmos propiciada por los griegos. La historia de la astronomía empieza ahí y le pasa como a las buenas novelas negras o a una serie de intriga que te absorbe: sigue un guion absolutamente impredecible, con unos cambios brutales. Y luego tiene unos personajes también muy interesantes: pensemos en la revolución de Copérnico. Los griegos acertaron en este cosmos expresable en términos matemáticos, con leyes simples, pero fallaron estrepitosamente en qué tipo de leyes y qué tipo de… Ellos hicieron un cosmos muy de sentido común: la Tierra quieta y todo lo demás dando vueltas, porque eso es lo que los sentidos nos dicen. Nadie siente la Tierra moverse, y todo el mundo ve que el sol es el que se mueve, se desplaza, y la luna y los planetas y las estrellas.

Entonces, la revolución copernicana fue un cambio de guion absolutamente brutal. Y, además, sacó a la ciencia del sentido común. Iba contra todo el sentido común y, además, contra el sentido religioso, porque iba contra lo que… en fin, algunas frases de la Biblia que, en ese momento, era el libro científico de referencia en el siglo XVI. Pues la revolución copernicana triunfó, en un principio, porque era una explicación más simple, más sencilla, más estética desde el punto de vista matemático. Y luego, ya se incorporaron las leyes de Kepler, más exactas con respecto a las observaciones. Pues esa es la historia de astronomía. Un continuo de sorpresas. Pensemos en el universo que nos acabó revelando la relatividad general. La relatividad general, formulada también en forma de ecuaciones diferenciales, anticipó que el cosmos estaba en expansión. Anticipó objetos que ahora nos fascinan tanto como los agujeros negros. Los agujeros negros fueron un objeto matemático antes que físico. Los físicos tienen mucha habilidad poniendo nombres y se les ocurrió esto de «agujero negro», que es fantástico, pero fue un objeto matemático.

Por ejemplo, a Stephen Hawking nunca le dieron el Premio Nobel de Física porque se entendía que lo que hacía era más matemáticas que física, porque hacía un estudio matemático de los agujeros negros como una singularidad de las ecuaciones de la relatividad general. Era un objeto matemático antes de pasar a ser objeto físico. Por eso acabé escribiendo una historia de la astronomía, porque me parecía fascinante. Y luego también está, si lo queremos ligar con la condición humana, con las circunstancias emocionales de la astronomía, en este caso, que es el espíritu en el que está escrito mi libro, pues tenemos personajes tan fascinantes como Newton o como el mismo Einstein, figuras muy complejas y muy controvertidas.

Ana Irizar. Una frase que he leído en uno de tus libros dice algo así… No lo voy a decir literal porque me equivocaré, seguro. Es algo así como: «Cuando la piel de los números se desgarra, lo que queda visible es la condición humana». Antonio, cuéntame un poco qué significa esa frase, porque es un poco diferente a lo que hablamos siempre de números y de… Cuéntanos.

Antonio J. Durán. Sí. Es volver otra vez a las circunstancias emocionales de las matemáticas. Digamos que los números, el sistema de numeración que usamos hoy en día y que tiene carácter universal, es un sistema de base diez, con diez símbolos para las cifras, que usa el sistema posicional y usa el cero, y ya digo, es de uso universal. Si lo comparamos con que hay miles de lenguas y solo un sistema de números usado de esta forma, es muy interesante reflexionar sobre eso. Este sistema posicional, estas cifras, este uso del cero y demás, es un hecho matemático, es un hecho científico, es un hecho, incluso, tecnológico de primer nivel, que tuvo, sin embargo, un origen histórico muy concreto y un origen geográfico muy concreto. Surgió en la India, allá por la mitad del primer milenio. En el siglo V, VI, ya estaba suficientemente extendida esta manera de escribir los números usando la base diez, el sistema posicional, el cero y una manera muy concreta de escribir las diez cifras. Un par de siglos después, esa parte de la India fue conquistada por el naciente Imperio islámico, y entonces los comerciantes y los científicos del islam encontraron esta forma de manejar los números muy apropiada, muy buena, la hicieron suya y la movieron a la otra parte de su imperio. De la parte oriental pasó a la parte occidental: Al-Ándalus.

Ya tenemos constancia escrita de la presencia de este sistema de numeración y la manera de escribir las cifras en el siglo X. Los árabes, lo único que hicieron es cambiar ligeramente la forma de escribir los números, adaptando la forma en que lo escribían los hindúes a la caligrafía árabe. Y de ahí acabó pasando a Europa. Y, de nuevo, por necesidades comerciales más que científicas, los números se impusieron en Europa porque en el incipiente capitalismo que se estaba desarrollando hacía falta llevar una contabilidad muy exhaustiva del comercio. Los dueños de las caravanas dejaron de ir con las caravanas. Se establecieron sobre todo en la República del norte de Italia y necesitaban llevar una contabilidad muy exhaustiva y, para eso, necesitaban un sistema de números eficiente. Y por eso se acabó imponiendo en Europa. Y cuando la imprenta empezó a publicar libros de contabilidad, libros de aritmética, usando el sistema hindú traído a Europa por los árabes, pues ya se hizo de uso universal. Entonces los números, este sistema de numeración, esta forma que ha acabado triunfando en todo el mundo, fue protagonista de un viaje absolutamente impresionante desde la India hasta Europa.

Y además no viajó solo. Con los números, viajaron lenguas. Viajaron religiones, porque los números siguieron justamente al Imperio islámico. Viajaron también objetos comerciales, porque esa ruta que siguieron los números, en parte, coincide con la Ruta de la Seda. Viajaron también tradiciones culturales, hay una tradición cuentística de colecciones de cuentos hindúes, que primero pasó al islam y dio origen a la tradición concretada en «Las mil y una noches», que acabó llegando con los números a Europa. Y lo mismo que los números triunfaron, estas tradiciones literarias acabaron germinando en Europa, por ejemplo, en «El Decamerón» o en «Los cuentos de Canterbury». Entonces, el sistema de numeración, que es algo científico, tiene unas circunstancias emocionales que, en este caso, corresponden con ese viaje, en esa compañía de otros objetos culturales. Y justamente a eso es a lo que me refiero, que, cuando rascas la piel de los números, lo que acaba apareciendo debajo… Es verdad que los números son un hecho científico, pero lo que acaba apareciendo debajo es la condición humana.

Ana Irizar. Y para finalizar, Antonio, me gustaría que… a ver si nos podrías decir alguna frase inspiradora, alguna frase relacionada con las matemáticas que nos pueda inspirar a todos los que estamos escuchándote.

Antonio J. Durán. Bueno, empezar diciendo que las matemáticas no son fáciles, pero sí extremadamente interesantes y útiles, y atesoran todo un caudal de belleza. Se puede hacer matemáticas por razones de curiosidad intelectual, en honor del espíritu humano, como decía el matemático Carl Jacobi: «En honor del espíritu humano». Pero también las matemáticas son muy útiles. De hecho, son imprescindibles en sociedades altamente tecnologizadas como son las nuestras. Son imprescindibles en otras ciencias, en la tecnología… Y es muy importante establecer una relación entre que un país tenga suficientes matemáticos capacitados como para apoyar a toda la parte científica y tecnológica y el desarrollo científico, tecnológico y, a la postre, económico del país. Es muy importante que la gente vea que es muy importante contar con ese colectivo de matemáticos bien preparados, bien formados y capaces de atender las necesidades de las otras ciencias, porque, de alguna manera, en ello nos va el futuro científico, tecnológico e incluso económico.

Como dije al principio, las matemáticas consisten en buscar secretos, en resolver problemas, y uno se puede apasionar muchísimo en la búsqueda de la solución de un problema y si, eventualmente, lo acaba resolviendo, va a recibir como recompensa un gran placer, una sensación muy placentera. Por decirlo en palabras de Stephen Hawking, él decía que no hay nada comparable al momento del descubrimiento, al momento del Eureka, cuando te das cuenta de que has descubierto algo que nadie antes sabía. Y añadía Hawking: «No lo voy a comparar con el sexo, pero dura más».

Ana Irizar. Muchas gracias, Antonio. Ha sido un verdadero placer charlar contigo este rato y, además, que acerques las matemáticas a todo el mundo.

Antonio J. Durán. No, gracias, desde luego a ti por las preguntas y por la compañía.