¿Cuántos afinadores de piano hay en Chicago?

Alessandro Maccarrone. Hola, mi nombre es Alessandro Maccarrone y soy doctor en Física Teórica. Soy también divulgador científico y profesor de secundaria. Y hoy he venido aquí para intentar cambiar un poco vuestra visión de las matemáticas y para intentar convenceros de que, además de ser útiles y necesarias, pueden ser, sobre todo, un infinito placer. Pero, antes, dejadme que os explique un poco cómo he llegado yo a esta conclusión. Supongo que, por mi apellido, ya habéis deducido que soy de origen italiano y la verdad es que mi familia italiana ha tenido mucha influencia en mí. Sobre todo, un tío mío, el hermano mayor de mi padre, ‘zio’ Ilio, al que me unía una relación muy especial. ‘Zio’ Ilio era abogado, pero en realidad su pasión había sido siempre la física y las matemáticas. Le habría gustado estudiar Física, pero sus padres, mis abuelos, no le dejaron. Le dijeron: «No, estudia Derecho, que tendrás muchas más salidas profesionales, encontrarás trabajo». Y así lo hizo. Y se convirtió en un muy buen abogado. Pero él no perdió su pasión por las matemáticas y por la física y siguió estudiando por su cuenta. Y le encantaba explicar a los demás, compartir con el resto de gente, lo que sabía, lo que aprendía. Me acuerdo de que un verano lo pasamos todos juntos, toda la familia, en un pueblo de Italia, en un pueblo que se llama Lavinio, que está a unos cuarenta kilómetros de Roma y que, según cuenta la leyenda, es donde desembarcó Eneas cuando llegó a la península itálica. Y estábamos allí toda la familia en una casa, mis abuelos, mis tíos y mis primos, que son algo mayores que yo. Y, nada, estábamos compartiendo el veraneo. Y mis primos tenían siempre alguna asignatura que recuperar en septiembre. Y a que no adivináis cuál era la asignatura que siempre tenían que recuperar. Las Mates.

Siempre había alguien que tenía que recuperar las Mates. Entonces, mi tío, al que le encantaba hablar de matemáticas, se ofrecía para darles clases particulares de matemáticas por las tardes. Entonces, comíamos todos juntos… Imaginaos: veraneo, toda la familia, mesas enormes y, después de comer, cada uno hacía un poco lo que quería. Unos se iban a dormir la siesta, otros jugaban a cartas. No había móviles, ‘tablets’, etc. Pues, bueno, cada uno hacía lo que quería y, entonces, era el momento en que mi tío aprovechaba y se sentaba en la mesa del jardín con el café y se ponía a dar clases particulares de matemáticas y de física a mis primos. Yo tenía unos diez años y en lugar de coger y decir «Bueno, pues me voy a la playa, me voy a jugar», ¿qué hacía yo? Me cogía la silla, me ponía a su lado y me ponía a mirar cómo mi tío les daba clases de matemáticas a mis primos, porque es que a mí aquello me parecía alucinante. Yo, claro, con diez años hacía unas matemáticas mucho más sencillas. Entonces, empezaba a ver allí álgebra, operaciones con letras, fórmulas, gráficos. Todo aquello me parecía increíble. Era como como un lenguaje de adultos y yo quería formar parte de aquello. Yo quería entender aquello que estaban haciendo. Y, bueno, entonces, tanto es así que le rogué, le supliqué, a mi tío y le dije: «Por favor, dame a mí también clases particulares de matemáticas y de física». Insisto: verano, Roma, playa, ¿y qué escojo hacer? Clases de matemáticas. Bueno, nadie es perfecto. Pues así fue. Le pedí esto a mi tío y, para mi sorpresa, accedió enseguida encantado. Yo creo que él allí vio un filón. Tuvo la esperanza de que alguien pudiera seguir los pasos que él no había podido seguir, de que alguien se animara y estudiara Matemáticas y Física. Y así me dio las primeras clases de matemáticas, de álgebra. Así aprendí los primeros conceptos sobre cómo está hecho un átomo. Nada, fueron cuatro o cinco clases, no mucho más. No me explicó muchas cosas, pero aquello fue suficiente.

Aquello me cambió por completo. Ya se me daban bien las matemáticas, la ciencia, pero a partir de ese momento ya no solo quería aprender matemáticas y física. Yo, a partir de ese momento, tuve claro que yo quería formar parte de aquello, o sea, yo quería que aquello fuera parte de mi identidad. Yo me quería dedicar a las matemáticas y a la física. Tanto es así que yo luego hice el instituto, acabé el instituto y tuve clarísimo que me apuntaría a la Facultad de Física y me apunté a Física en la Universidad de Barcelona. Hice la carrera, me lo pasé muy bien. Acabó la carrera, empecé el doctorado e hice un doctorado en Física Teórica. Mi tesis se titulaba ‘Análisis microscópico de agujeros negros con rotación’. Imaginaos, suena a ciencia ficción. Es decir, yo estaba en la cresta de la ola: me dedicaba a lo que más me gustaba, hacía una tesis que podía estar sacada de un libro de ciencia ficción… y, aun así, notaba que me faltaba algo. Había algo que no acababa de funcionar. Y, entonces, me di cuenta de que lo que me faltaba era esa ilusión que había visto en mi tío, en ‘zio’ Ilio, en esas tardes en Lavinio cuando compartía lo que sabía con mis primos. Es decir, el hecho de poder compartir lo que sabes y explicárselo a otra persona. Claro, yo hacía cosas superinteresantes pero que eran tan complicadas, tan abstractas, que no podía hablar de ellas con nadie. Bueno, entonces, le estuve dando muchas vueltas hasta que tomé una decisión drástica. Dejé la universidad y puse rumbo hacia la docencia. Y la verdad es que llevo más de quince años dedicándome a la docencia, a la enseñanza de las matemáticas y de la física. He sido profesor de secundaria en la ESO y en Bachillerato, he sido formador de docentes, me he dedicado también a elaborar materiales didácticos, educativos, de matemáticas y de física.

Y, como os podéis imaginar, en todo este tiempo he tenido ocasión de pensar mucho sobre qué visión tiene la gente de las matemáticas. ¿Por qué hay este estigma de las matemáticas? Este miedo, estas palpitaciones que nos cogen, cuando tenemos que hacer matemáticas, a mucha gente. ¿Y sabéis de lo que me he convencido? De que para mucha gente las matemáticas son una especie de amor imposible. Un amor imposible es aquel sin en el que no puedes vivir, es decir, no puedes vivir sin él, pero cuando intentas tener una relación estable, la cosa no funciona. Entonces, lo intentas y tal y no funciona y no funciona y dices: «Bueno, pues hay que dejarlo». Entonces, para dejarlo, te inventas cualquier excusa. Entonces, vas ahí y dices: «No, no eres tú, soy yo». Bueno, en matemáticas no dices esto, dices: «Es que yo no estoy hecho para las matemáticas, es que yo soy de letras, es que a mí no se me van a dar nunca bien las matemáticas». Te inventas cualquier excusa y acabas dejando escapar al que podría haber sido el gran amor de tu vida. Pero ¿qué pasa con los amores imposibles? Que, luego, te persiguen el resto de tu vida. Y, con las matemáticas, pasa un poco esto, que te las acabas encontrando por todas partes. No puedes escaparte de ellas. No os podéis ni imaginar la cantidad de gente, de amigos, de conocidos, que, como saben que yo soy profesor de matemáticas, me llaman, me escriben y me hacen consultas de matemáticas. «Sandro, escucha, que estoy aquí haciendo una factura y me tienen que dar mil euros netos, pero entonces, no sé cuál es el bruto que tengo que poner para que me den mil euros netos». O los padres que, con toda la buena voluntad del mundo, quieren ayudar a sus hijos a hacer los deberes de Matemáticas. «Sandro, que estamos aquí resolviendo ecuaciones y ahora no me acuerdo. Cuando un número pasa a dividiendo, ¿cambia de signo o se deja igual?». Bueno, todas estas cosas, porque al final las matemáticas todo el mundo las acaba necesitando en un momento u otro.

Bueno, la cuestión es que yo estaba un poco dándole vueltas a este asunto de qué podría hacer para devolver la esperanza en las matemáticas a toda esta gente que la perdió hace tiempo porque tuvo una mala experiencia o simplemente porque las tiene olvidadas, cómo puedo acercar las matemáticas al público en general, a quien ya no está en la escuela o a quien ya no está estudiando. Y, bueno, mientras yo iba dándole vueltas, maquinando a ver qué puedo hacer, qué no puedo hacer, un día recibo una llamada de teléfono. Era un excompañero del instituto que ahora resulta que es director de una editorial. La editorial se llama Blackie Books y el director, este excompañero, se llama Jan Martí. Y, bueno, Jan es algo más joven que yo. Era compañero de clase de mi hermano, que también es más joven, y resulta que Jan, en algún momento del instituto, también se le atravesaron las matemáticas, tuvo alguna cosa que no entendía. Entonces, ¿qué hizo? Pues llamó al profesor particular de cabecera de matemáticas, que era yo mismo, y entonces le estuve dando unas cuantas clases particulares de matemáticas, lo tuve ahí de alumno, le di unas cuantas clases, desencallamos el asunto y ya está. Evidentemente, no lo hice del todo mal, porque, cuando llego a las oficinas de Blackie Books, me sientan y me dicen: «Sandro, tenemos el proyecto de escribir, de publicar, un libro de matemáticas, pero queremos que sea un libro que desmonte el mito de la dificultad, un libro escrito desde el amor a las matemáticas, desde el placer de las matemáticas. Y creemos que la persona idónea para escribirlo eres tú». Claro, os podéis imaginar. A mí, que ya iba ahí dándole vueltas a ver qué puedo hacer para acercar las matemáticas a la gente, cómo rompo este mito de la dificultad, me proponen que escriba un libro sobre el placer de las matemáticas. Tardé medio segundo en aceptar.

Y, bueno, esta es un poco mi historia y, sobre todo, la historia de mi libro, que se titula ‘El infinito placer de las matemáticas’.

Álvaro. Hola, Alessandro, me llamo Álvaro y has comentado varias veces que las matemáticas son divertidas. Y también mi profesor dice lo mismo, aunque yo no le veo ningún placer. ¿Me podrías convencer de que estas, las matemáticas, son divertidas y placenteras ya no solo para nosotros, los estudiantes, sino para el mundo entero?

Alessandro Maccarrone. Bueno, Álvaro, pues muchas gracias y me alegro mucho de que me hagas esta pregunta. Tengo que reconocer que me la esperaba un poco porque, cuando la gente oye el título de mi libro, surge habitualmente. Todos estaremos de acuerdo o todos vemos muy claro que las matemáticas son útiles, que son necesarias en la vida para resolver cuestiones prácticas: calcular el cambio cuando voy a comprar, adaptar una receta para otro número de personas. Pero, además de esto, también las matemáticas son útiles y necesarias para procesar toda la información que recibimos continuamente de los medios de comunicación, en redes, cuando contratamos un servicio. Esta información está llena de contenidos matemáticos, gráficas, datos, porcentajes. Entonces, si no entendemos bien estos conceptos, es más fácil que no entendamos bien esta información, que nos puedan manipular, que tengamos menos sentido crítico. Pero es que, además, las matemáticas son el lenguaje en el que se expresan la ciencia y la tecnología. Entonces, si queremos entender un poco mejor cuál es la visión que tenemos actualmente del universo, de la naturaleza, y cómo moldeamos esta naturaleza a través de la tecnología, más vale que sepamos matemáticas, porque, si no, nos vamos a quedar en una capa muy superficial. Y, mirad, hay un matemático y divulgador muy bueno, que es Eduardo Sáenz de Cabezón, que dice a menudo que las matemáticas son también un entrenamiento para aprender a pensar más y mejor. Y por esto parece ser que Platón decidió incluir la enseñanza obligatoria de las matemáticas en su Academia, en la Academia de Platón. Es decir, fijaos en todas las cosas para las que necesitamos matemáticas: para cuestiones prácticas, para procesar la información, para entender la ciencia y la tecnología, para pensar más y mejor.

Y, sin embargo, yo creo que con esto no basta. Esto no es suficiente para que la gente se lance apasionadamente a aprender matemáticas. La clave para que la gente quiera aprender matemáticas yo creo que está precisamente en el deseo y en el placer. Sí, sí, en el placer. Ya sé que muchas veces cuesta poner en la misma frase ‘placer’ y ‘matemáticas’. Veo a alguien ahí, al fondo, a quien le está dando como un tic nervioso al oír esto. Bueno, pues creedme que es así, que aquí es donde está la clave, aunque es cierto que no siempre es fácil de explicar. Yo mismo esta mañana estaba desayunando, tomándome el café, e iba pensando: «Tú ahora te vas a ir allí a ver a esta pobre gente y les vas a explicar que las matemáticas son un infinito placer y te van a mirar raro. Van a decir “¿Este loco qué está diciendo?”. ¿Cómo los convenzo? Es decir, ¿qué ejemplo me puedo montar? ¿Qué me puedo inventar yo aquí, para explicarles, como mínimo, qué quiero decir cuando digo que las matemáticas son un infinito placer?». No sabía qué hacer y de repente me quedo mirando la mesa, tenía todas las cosas del desayuno, y lo he visto ahí. Es que lo he visto clarísimo. Digo: «¿Cómo no lo he visto antes? Si tengo aquí un objeto terriblemente matemático. ¿Cómo es que no se me ha ocurrido antes que este es el ejemplo perfecto para hablar del placer de las matemáticas?». ¿Qué creéis que he visto? Una servilleta. Obvio, ¿no? Es decir, ¿se os ocurre un objeto más matemático que una servilleta, algo que ilustre mejor el infinito placer de las matemáticas? Porque, claro, alguien que tenga mirada matemática se queda observando esto y ¿qué es lo que ve? Un cuadrado, ¿no? Un cuadrado. Yo aquí no veo servilletas, desayuno… No, yo estoy viendo un cuadrado. Pero, esperad, porque, además, si yo ahora cojo la servilleta y la abro, me sale… ¡Tachán! Otro cuadrado. ¡Oh!

O sea que resulta que, si yo cojo un cuadrado y lo doblo dos veces, me sale otro cuadrado. Maravilloso, ¿no? Pero, entonces, me he empezado a preguntar. Digo: «¿Y es la única posibilidad? ¿Solo me van a salir cuadrados? ¿Qué otras figuras puedo obtener si doblo una servilleta cuadrada? ¿Hay algún patrón?». Aquí ya me he empezado a acelerar, he empezado a hacer experimentos, he empezado a probar y, bueno, he acabado con la mesa llena de servilletas dobladas. Entonces, ahora, me gustaría compartir con vosotros algunas de las cosas que he descubierto, porque, sí, las matemáticas son sobre todo experimentación, descubrimiento, hipótesis. Creo, creo, que tenéis cada uno y cada una de vosotros una servilleta en vuestro asiento. Si la queréis coger ahora, podéis desplegarla y vamos a ver ahora… El problema que os planteo es estudiar, analizar, cuántas formas distintas podemos obtener según cuántas veces doblamos una servilleta. Y las condiciones son muy precisas: vamos a doblar la servilleta siempre de manera que una mitad quede completamente superpuesta a la otra. Es decir, no vamos a hacer ni dobleces así irregulares, ni doblar tres veces. Es decir, doblar una vez significa doblar así, por ejemplo. Entonces, aquí estamos viendo que, si yo doblo una vez la servilleta, ¿qué me puede salir? Un rectángulo. Perfecto. Yo ya tengo mi rectángulo. Pero, si yo cojo una servilleta que está totalmente abierta y la dobló una vez, ¿tengo alguna otra manera de doblar la servilleta sobre sí misma para que me quede una forma distinta?

Público. Sí.

Alessandro Maccarrone. Sí que tengo, ¿no? ¿Qué puedo hacer? Exacto. Aquí, lo que acabo de ver es que el cuadrado tiene más de un eje de simetría. Tiene un eje de simetría paralelo a los lados y tiene un eje de simetría que es su diagonal. Y aquí me queda un maravilloso triángulo rectángulo. Bueno, a partir de estas dos formas, yo ya puedo empezar a hacerme otras preguntas. Por ejemplo, las dos figuras, el rectángulo y el… Perdón, no os he preguntado antes, ¿hay alguna otra forma que pueda obtener? Si le dais muchas vueltas, veréis que no hay más posibilidades. Me puede quedar el rectángulo en horizontal o en vertical, pero la forma es la misma. Solo tengo estas dos posibilidades al hacer un pliegue. Bien, el área. ¿Ocupan la misma área estas dos figuras? ¿Sí, no, depende? ¿Comodín del público? Bueno, pues sí que ocupan la misma área. ¿Por qué? Porque yo he cogido el cuadrado y lo que he hecho es superponer la mitad del área sobre la otra mitad. Pero, si alguien aún sigue con dudas, pues yo puedo ponerlas una encima de otra y veo perfectamente que, si recorto este trozo que me sobra aquí del triángulo y lo coloco aquí, hago aquí corta y pega, me queda exactamente el mismo rectángulo. Por eso decimos que ocupan la misma área. Y, si ocupan la misma área, ¿tienen el mismo perímetro? ¡Ah! ¿Sí, no, depende? Comprobémoslo. Supongamos que el cuadrado, el lado del cuadrado, era uno, mide uno, con lo cual el perímetro era cuatro. Uno, dos, tres, cuatro. Entonces, ¿este rectángulo qué perímetro tiene? ¿Cuánto mide su perímetro? Pues tengo uno por aquí, uno por aquí, medio y medio. Tiene un perímetro de tres unidades el rectángulo. Y el triángulo, en cambio, tiene uno por aquí, dos por aquí, ¿y esto es uno?

Si esto es uno y esto también, ¿esto puede ser uno? No, esto es más largo que uno. Por lo tanto, ¿tienen el mismo perímetro? No tienen el mismo perímetro. Este es más largo. Con lo cual, aquí ya veo cosas interesantes. Área y perímetro son cosas distintas. Cada una va por su cuenta. No tienen por qué ir juntas. Bueno, pues yo aquí ya tenía mi primer paso. Yo he hecho un pliegue. De acuerdo, pues ahora no nos quedemos aquí. Vamos a ver qué pasa ahora si yo hago dos pliegues, si hago un segundo pliegue. Entonces, para hacer el segundo pliegue, yo tengo que seguir todos los caminos que se me han abierto, el camino del rectángulo y el camino del triángulo. Vamos a empezar con el triángulo, que lo tengo en la mano. ¿El triángulo lo puedo doblar de alguna manera para que me quede una mitad sobre sí misma? Sí, el triángulo tiene un eje de simetría, que es esta altura de aquí, y yo lo puedo doblar y me va a quedar… Bueno, de hecho, voy a guardar este, porque así los guardo, y voy a coger otro, voy a formar mi triángulo y este triángulo lo voy a doblar dos veces. Es decir, me queda el triángulo por aquí y otro triángulo por aquí, con lo cual yo aquí ya tengo una forma obtenida haciendo dos pliegues a mi cuadrado original. Pues me guardo aquí el triángulo. ¿Qué más puedo hacer? ¿El triángulo veis alguna otra manera…? ¿Este triángulo grande se os ocurre alguna otra manera de poderlo doblar por la mitad? No tiene más ejes de simetría. Podemos usar aquí también lenguaje matemático. Pues el triángulo ya lo tenemos. Entonces, ahora me voy otra vez al rectángulo. Entonces, este rectángulo que tengo aquí, el rectángulo de un pliegue, ¿de cuántas maneras lo puedo doblar? Una, la estándar, la que viene en el paquete de las servilletas. ¿Qué puedo hacer? Pues doblarlo a través de este eje de simetría y ¿qué me queda? Me queda la servilleta cuadrada del principio que yo tenía encima de la mesa cuando desayunaba. Pues ya tengo aquí otra forma, el cuadrado. Pero ¿el rectángulo lo puedo doblar de alguna otra manera de manera que coincidan las mitades?

¿Cómo lo puedo doblar? Longitudinalmente. Es decir, el rectángulo tiene dos ejes de simetría que no son equivalentes, con lo cual aquí me queda otro rectángulo más alargado y ya tengo una tercera figura. Recordad, tenemos el triángulo que he obtenido doblando el otro triángulo, el cuadrado que he obtenido doblando el rectángulo por uno de sus lados o por una de las direcciones y el otro rectángulo más alargado. No sé si habéis probado, pero no hay más opciones. Ya no tengo más posibilidades. Vale, pues ahora es cuando la cosa empieza a tomar forma, porque fijaos en qué tenemos aquí. Tenemos que, inicialmente, yo tengo una figura. Cero pliegues, ¿cuántas figuras? Una. Doblo una vez y ¿cuántas figuras me salen? Dos. Doblo dos veces y me salen tres figuras. No, es que el patrón está clarísimo, nos está llamando. Es decir, si ahora doblo una tercera vez, ¿cuántas figuras nos van a salir? Nos van a salir cuatro. Bueno, nos van a salir cuatro… Esa es nuestra hipótesis. Pero, fijaos, estamos buscando un patrón. Yo he observado, he experimentado, he observado lo que me salía y he detectado un patrón. Y ahora acabamos de formular todos juntos aquí una conjetura. Vamos a ver si esta conjetura es cierta o no, porque las conjeturas pueden luego cumplirse o no cumplirse. Entonces, voy a coger todas las figuras que me han salido al doblar dos veces y voy a ver de cuántas maneras las podemos doblar. Vamos a ver: si ahora tengo este triángulo, ¿este triángulo lo puedo doblar sobre sí mismo para que me quede la mitad? Sí, ya lo hemos visto, estos triángulos siempre funcionan de la misma manera, son un poco aburridos. ¿Cómo lo puedo doblar? Así, ¿no? Y me va a quedar un triángulo. ¿Sí? Un triángulo más pequeño. Pues ya tengo aquí una figura. Vale, ahora vamos al rectángulo. Este rectángulo de aquí. ¿De cuántas maneras lo puedo doblar? Lo puedo doblar de dos maneras. Lo puedo doblar así y me queda un rectángulo menos alargado, como más proporcionado, ¿sí? Me lo guardo aquí.

Y, también, voy a jugar con este, recordad que ahora el punto de partida era este rectángulo de aquí, el de los dos pliegues, el rectángulo alargado. Ahora lo acabamos de doblar así, pero también lo podemos doblar de otra manera, ¿no? Igual que antes. Lo podemos doblar así, longitudinalmente. Nos queda aquí una cosa que cada vez es más alargada y cada vez se parece menos a un rectángulo. Pero, bueno, las matemáticas tienen esto bueno, que podemos imaginarnos lo que nos dé la gana. Esto es un rectángulo, vamos a idealizarlo y es un rectángulo alargado. Ya tengo tres figuras: ya tengo el triángulo pequeño, tengo este rectángulo más proporcionado y el rectángulo alargado. Pero es que aún me queda una figura que puedo doblar. Esta era la de los dos pliegues. ¿Qué va a pasar ahora? ¿Serán cuatro? ¿Serán más de cuatro? Porque aquí me han salido dos. ¿Serán menos? Pues vamos a ver qué pasa. ¿Cómo puedo doblar yo este cuadrado? Lo puedo doblar así y me sale un rectángulo. Pero ¿no os resulta familiar? Este rectángulo y este rectángulo son el mismo. Hemos llegado por caminos distintos, haciendo pliegues distintos, pero son el mismo rectángulo. Por lo tanto, esta no me sirve, esta la descarto, esta no la acepto. Y si ahora… ¿De qué otra manera puedo doblar el cuadrado? Así, ¿no? Ah, ya tengo aquí otra figura. ¿Y esta me sirve? Fijaos en que es el mismo triángulo que hemos obtenido de la otra manera. ¿Puedo doblar el cuadrado de alguna otra manera? Por lo tanto, ¿cuántas figuras tengo si doblo tres veces? Tres otra vez. Es decir, lo veíamos clarísimo. Veíamos un patrón allí que se iba a cumplir. Pero no se ha cumplido. No ha funcionado este patrón. Y no pasa nada, porque a veces la intuición nos engaña en matemáticas. Bueno, yo ahora podría seguir aquí haciendo… Ahora, entonces, cuando yo he visto esto, aquí es donde se me ha disparado la curiosidad.

Digo: «¿Y qué pasa si hago un cuarto…?». No os voy a hacer hacer el cuarto pliegue porque aparte ya casi no se podría ni doblar. Eso también es la grandeza de las matemáticas. Un papel se puede doblar hasta un cierto punto, luego ya no te da más de sí, pero matemáticamente tú puedes pensar todos los pliegues que te dé la gana, porque no hay límites físicos. Entonces, a partir de aquí me he puesto a pensar. «Si doblo cuatro veces, ¿van a volver a ser tres? ¿A partir de ahora son siempre tres formas? ¿Aumentan, vuelven a aumentar cada dos veces? ¿Qué pasa con el perímetro? ¿Qué pasa con el área?». Mil preguntas. Infinitas preguntas. Entonces, para mí, este es un ejemplo de lo que puedes llegar a hacer o de lo que puede llegar a producir un infinito placer al hacer matemáticas. Es el placer simplemente de hacerte preguntas, de investigar con cualquier cosa cotidiana que tengas a tu alcance, de formular hipótesis, de decir «Ahora voy a comprobar si esto es verdad o no», de ver que no es así y, entonces, aún animarte más y decir «Quiero entender por qué no es así», de seguir investigando una vez y otra vez. Pero mientras yo estaba con esto… Como os he dicho, tenía toda la mesa llena de servilletas dobladas de una manera o de otra, etc. Entonces, me he quedado… La gente pasaba por ahí, me miraba raro, «¿Qué hace este con todas las servilletas aquí?». Pero, entonces, me he quedado mirando las servilletas otra vez más y me he dado cuenta de que aquí había aún mucho más material matemático del que yo me había imaginado. Porque digo: «Sandro, tú ahora estás aquí venga a contar formas, a doblar, a ver cuántas formas distintas te salen». Pero yo también podría observar otra propiedad, podría observar otra cosa. Yo, en lugar de contar formas, podría contar capas. Yo puedo contar cuantas capas tiene mi servilleta según cuantas veces la he doblado. Es decir, si yo ahora la despliego otra vez del todo a mi pobre servilleta, esto es una capa de papel. Solo tengo una capa.

Si doblo una vez, ¿cuántas capas tiene ahora el papel? Dos. Si vuelvo a doblar otra vez, ¿cuántas capas tendrá el papel? Cuatro. ¿Y si vuelvo a doblar? No me hace falta ni hacerlo. ¿Cuántas me va a dar el siguiente? Ocho. Es decir, aquí sí que veo un patrón bastante claro y puedo confiar en él. Estoy viendo que el número de capas se multiplica cada vez por dos. Muy bien. Y esto me permite, entre otras cosas… Cuando yo identifico un patrón, tengo mi servilleta bajo control. Porque si ahora, sin doblar, sin contar nada, os pregunto: «¿Y con cuatro? ¿Y si doblo otra vez, cuatro veces, cuántas capas habrá?». Me diréis dieciséis. Y si os digo «¿Y si doblo doce veces?»… Bueno, pues me puedo poner… No me pondré a doblar doce veces. Seguramente no pueda, no me dé más de sí el papel. Me puedo poner a multiplicar dos por dos por dos. Seguro que me descuento, me dejo algún dos. Entonces, cuando tenemos un patrón, en general siempre es buena idea poner en orden la información que tenemos y entender bien cómo funciona este patrón. Entonces, lo que estamos viendo aquí es que… ¿Qué hemos visto? Que cuando yo hacía un pliegue, ¿cuántas capas tenía la servilleta? Tenía dos capas. Cuando hacía dos pliegues, pasaba a tener cuatro capas, que eran… ¿Por qué me salían cuatro capas? Pues porque al superponer se dobla, se duplica. Por lo tanto, es dos por dos. Al hacer tres pliegues, ¿qué me salía aquí? ¿Cuántas capas había? Ocho, que es dos por dos por dos. Claro, esto de escribir dos por dos por dos ya sabéis que es un poco tedioso, pero todo esto sabemos que lo podemos condensar. Para eso nos sirven las potencias. Esto lo podemos expresar en forma de potencias. Entonces, dos por dos es lo mismo que dos a la dos, dos por dos por dos es dos a la tres. Fijaos: dos pliegues, dos a la dos. Tres pliegues, dos a la tres. Si yo tengo… Entonces, con cuatro, directamente ya no voy a escribir aquí… Lo escribo como potencia. Esto me va a dar dos elevado a cuatro, que es precisamente dieciséis.

Y, entonces, si yo quiero saber, con doce pliegues, cuántas capas tendrá la servilleta, pues no hace falta que me ponga a multiplicar dos por dos por dos, ya tengo mi fórmula directa. Yo ya sé que lo que tengo que hacer aquí es elevar dos a doce y, si lo hacéis, esto os dará seguramente cuatro mil noventa y seis capas. Imaginaos una servilleta de cuatro mil noventa y seis capas. Muy bien. Bueno, pues ya está. Yo tengo un patrón. Los patrones son útiles porque nos permiten hacer predicciones, nos permiten anticipar lo que va a pasar. Pero es que a veces lo más interesante no pasa cuando vamos hacia adelante, sino cuando vamos hacia atrás. ¿Por qué? Porque yo ahora he visto que este patrón me funciona aquí: dos a la dos, dos a la tres, dos a la cuatro. Pero ¿qué pasa si voy hacia arriba? Por ejemplo, cuando yo hago un pliegue, según… Lo que acabo de ver en cierta manera es que, si yo tengo n pliegues, voy a tener dos a la n capas. Pues, si el número de pliegues es uno, ¿cuánto tendría que ser esto aplicando este patrón, esta fórmula que tenemos aquí? Pues tendría que ser dos elevado a uno. ¿Estáis de acuerdo? Todos sabemos que un número elevado a uno es el número mismo. Muy bien, pero vamos a dar un paso más hacia atrás, es decir, vamos a ir a cero pliegues, que os recuerdo que cero pliegues es esto de aquí, ¿sí? Pues, si yo tengo cero pliegues, entonces, según mi fórmula, ¿cuántas capas tendría que tener la servilleta? Pues tiene que tener dos elevado a cero. Ya sé que todos sabéis y todas sabéis que cualquier número a la cero es igual a algo, pero vamos a suponer que esto no lo sabemos y vamos simplemente a observar qué es lo que nos queda aquí. Cuando yo hago cero pliegues, ¿desaparece la servilleta, hay cero servilletas? ¿Cuántas servilletas hay? ¿Cuántas capas hay?

Hay una capa, no cero, es decir que dos a la cero lo más natural es considerar que es igual a uno, que es lo que hemos aprendido siempre, que cualquier número elevado a cero es igual a uno. Pero aquí no solo estamos aprendiendo una regla, sino que la estamos viendo, estamos viendo que es lo que tiene más sentido del mundo, porque, cuando yo despliego del todo la servilleta, no me desaparece la servilleta, sigo teniendo una capa y, por eso, dos elevado a la cero es uno. Pues, mirad, para mí este es un segundo ejemplo, una segunda manera de entender el placer de las matemáticas, el placer de entender, el placer de visualizar, de dar sentido a conceptos complicados que, de otra manera, no entenderíamos en absoluto. Es decir, para mí, cuando os hablo del infinito placer de las matemáticas, tiene que ver con estas dos cosas: buscar, investigar, indagar, experimentar y entender, comprender, dar sentido.

Erica. Hola, me llamo Erica. Estudio el bachillerato científico y me gustaría preguntarte por qué, como hoy en día tenemos tantos tipos de calculadoras y tan a mano, como puede ser en el móvil, que los llevamos todos, deberíamos aprender a hacer cálculo de operaciones.

Alessandro Maccarrone. Muy bien, Erica. Pues muchas gracias y la verdad es que esta es una pregunta que se hace mucha gente y yo creo que no nos tiene que dar miedo hacérnosla, porque es verdad, es una realidad que estamos viviendo cada día. Antes de responder a la pregunta en sí, dejadme que os cuente una pequeña historia muy tonta que me pasó hace unos años. Trabajaba en aquel entonces en una empresa editorial, trabajaba como autor, como redactor, y un día uno de los comerciales me pidió si, por favor, podía acompañarlo a una reunión que tenía en un instituto. Y, como las oficinas de la empresa estaban fuera de Barcelona, íbamos en coche, cada uno iba en su coche. Entonces, quedamos en que yo lo seguiría. De entrada, él ya cogió un camino que yo pensé «Qué raro», pero digo: «Él está más acostumbrado a moverse por Barcelona durante el día, igual sabe dónde hay más atascos, etc. Debe de conocer un camino más rápido. Nada que decir». Y, nada, fuimos tirando, íbamos por la Ronda de Barcelona, seguíamos y, cuando ya se estaba acabando, digo: «Bueno, ahora girará hacia la derecha porque allí es donde está el centro de la ciudad», que es donde estaba el instituto. Y veo que pone el intermitente hacia la izquierda y coge la carretera en dirección a Girona. Entonces, aquí ya no pude más. Lo llamé y le digo: «Oye, pero ¿no ves que estamos yendo en dirección contraria?». Dice: «Sí, sí, sí, ya lo veo, pero es que el GPS me envía por aquí». Claro, ¿qué pasaba? Pues que el GPS había cometido un error o él había puesto mal la dirección. Pero, en lugar de cuestionárselo, el tío seguía. Si no llego a llamarlo, aún seguiríamos ahora en carretera buscando el instituto. ¿Qué quiero deciros con esto? Que, en general, yo creo que tenemos que tener una actitud crítica con el uso de la tecnología, siempre. Es decir, mantener… Digamos que no me parece una buena idea dar carta blanca al uso de la tecnología.

Tendríamos que mantener siempre una parcela de autonomía y más en estos tiempos en que se habla tanto sobre la neutralidad de los algoritmos, sobre los efectos de la tecnología a nivel cognitivo, sobre la privacidad, etc. Entonces, siempre, una postura precavida. Dicho esto, es obvio que el hecho de que todos tengamos una calculadora en el móvil, en el bolsillo, nos obliga seguramente a replantear cuáles tienen que ser las prioridades a la hora de aprender el cálculo. Tiene poco sentido hoy en día dedicarnos horas y horas a hacer multiplicaciones con números de diez cifras en columna una y otra vez. ¿Para qué? Si nunca vamos a hacer una multiplicación así, las vamos a hacer en calculadora y, sobre todo, es que hacer multiplicaciones así de largas no nos aporta mucho a nivel de comprensión matemática. Es mucho más interesante ir desarrollando distintos tipos de estrategias de cálculo y saber cuál escoger en cada momento. Por ejemplo, os propongo una resta, una resta muy sencilla, una resta que es la siguiente. Voy a restar a un número redondo, el diez mil, un número lleno de ceros. Le voy a restar un número que no tenga ceros. Yo qué sé. Vale. Pues, bueno, no pasa nada, es una resta, todos la podríamos hacer a mano. Pero, claro, aquí empiezo a tener problemas porque tengo que hacer llevadas, porque, claro, al cero no puedo restarle el uno, tengo que pedir prestado, pero el cero de al lado tampoco tiene, el cero de al lado tampoco tiene y me empiezo a liar. Bueno, podría hacerlo así y, entonces, perfecto, hago un entrenamiento de resta con llevadas. Ningún problema. Pero, en lugar de esto, yo puedo hacer válida aquella frase de «Vísteme despacio que tengo prisa», que es: vamos a diseñar una pequeña estrategia, a ver qué es lo que conviene hacer aquí.

Y, entonces, yo puedo pensar que restar en realidad es como calcular la distancia entre dos valores. Yo quiero saber cómo de lejos está el diez mil de este otro número de aquí. Y la distancia entre dos valores no cambia si yo desplazo estos valores una unidad, si yo disminuyo en una unidad esto y disminuyo en una unidad este otro de aquí, la resta, el resultado, la diferencia me va a dar lo mismo. Y, si yo hago esto, le resto uno al término de arriba y le resto uno al de debajo, el resultado va a ser el mismo. Pero fijaos en si no es mucho más amable esta resta de aquí. ¿Por qué? Porque restar del nueve es mucho más sencillo. Ahora haré nueve menos cero, nueve. Nueve menos nueve, cero. Nueve menos dos, siete y nueve menos siete, dos. Es tan sencilla que me he atrevido a hacerla aquí en directo sin miedo a equivocarme. El resultado de esta resta es exactamente el mismo, no hay ningún cambio, pero solo dedicando un segundo a diseñar una estrategia se vuelve mucho más sencillo el cálculo. No me hace falta ni… He tardado menos que yendo a buscar el móvil, abriendo la calculadora y haciendo la operación, ¿de acuerdo? Y, además, de esta manera estoy utilizando propiedades de las operaciones, relaciones entre los números. ¿Quiero decir con esto que no hay que aprender los métodos, los algoritmos, tradicionales de cálculo? No, no estoy diciendo esto. Lo que estoy diciendo es que no tiene que ser necesariamente ni lo único ni lo primero que se aprenda a la hora de aprender a calcular. ¿Qué más hay que aprender entonces? ¿Qué más habilidades de cálculo hacen falta? Pues, bueno, lo primero es aprender a utilizar la calculadora, que sabéis que no siempre es fácil. Hay que saber cómo se introducen las operaciones, la jerarquía de las operaciones, distintos modelos de calculadoras. Entonces, hay que aprender también a utilizar la calculadora. Y también hay matemáticas ahí. Además de esto, hay que saber hacer cálculo mental, pero no solo para poder ir y que no me engañen cuando me dan el cambio o no se equivoquen al darme el cambio, sino porque el cálculo mental nos obliga a entender mejor las operaciones, a encontrar relaciones. «Ah, multiplicar por cinco es lo mismo que multiplicar por diez y dividir entre dos». Bueno, pues hay matemáticas aquí. Aquí sí que estamos desarrollando un sentido numérico.

Y además de hacer cálculo mental, también hay que saber hacer aproximaciones. Siempre tenemos esta idea de que las matemáticas son una disciplina precisa, exacta, sin errores. No, en las matemáticas también hay toda una parte que tiene que ver con cómo aproximar, cómo hacer estimaciones. Para hacer estimaciones, hay un tipo de problemas que a mí me parecen muy divertidos, muy interesantes, que son los problemas de Fermi. ¿Habéis oído hablar alguna vez de ellos? Los problemas de Fermi se llaman así porque los popularizó un físico italiano, Enrico Fermi, al que se le daba muy bien hacer estimaciones. El más famoso de todos dice lo siguiente: «¿Cuántos afinadores de piano hay en Chicago?». Punto. Ningún dato, ninguna información extra. Me acuerdo perfectamente de que el primer día de la carrera, es decir, mi primer día de universidad, cuando llegué a la Facultad de Física, sentado allí con los profesores hablándonos de las asignaturas, nos reparten el dosier de ejercicios, de problemas, y el primer enunciado era este. «¿Cuántos afinadores de piano hay en Chicago?». Claro, nos miramos todos extrañados diciendo: «¿Y dónde están los datos? ¿Y la información? ¿Y todo lo que necesito saber para hacer este cálculo dónde está?». Es decir, el problema es, precisamente, deducir tú los datos a partir de tu intuición y de tu conocimiento. No solo deducir los datos, sino deducir qué datos vas a necesitar. Es decir, ¿yo aquí qué necesito para hacer este cálculo? Bueno, pues en el caso de los afinadores de piano, ¿qué me va a hacer falta seguramente? Me hará falta saber cuántos habitantes hay en Chicago, ¿no? Y me imaginaré algo, no sé, tres millones, cinco millones. Y, a partir de aquí, entonces, ¿qué puedo pensar? Pues puedo pensar cuánta gente de mi alrededor tiene piano, para saber un poco cuántos pianos puede haber en una cierta población. Cada cuánto hay que afinar un piano. Cuántos pianos puede afinar cada día una persona. Iré haciendo un razonamiento y llegaré a un valor, un valor que no será exacto, pero aquí lo que importa no es si son cuarenta, cuarenta y cinco o setenta y uno y medio.

Se trata de llegar a un valor que tenga sentido. Es decir, lo que nos interesa aquí es: ¿estamos hablando de decenas, de centenas o de millares? Es decir, lo que se llama el ‘orden de magnitud’, para tener una idea intuitiva. Porque esta es otra cosa importante también: cuando llegamos al resultado de un problema, sea de Fermi o no sea de Fermi, luego, tenemos que intentar darle sentido, y esto también es una habilidad de cálculo, es decir, interpretar ese número y darle un sentido, a ver si eso es grande, es pequeño… Porque sobre todo con números grandes es muy fácil que nos perdamos. Entonces, aquí hay un divulgador de las matemáticas, que es John Allen Paulos, que tiene un libro que se titula ‘El hombre anumérico’ y en este libro recomienda que todos nos busquemos cantidades de referencia, objetos de referencia, para tener una idea de cuánto son determinadas cantidades. Es decir, por ejemplo, yo para pensar en mil, me viene a la cabeza ‘El Señor de los Anillos’, el libro de ‘El Señor de los Anillos’, que tiene mil y pico páginas. No tienen que ser mil exactas. Pues mil y pico. Pues, vale, pues, para mí, mil son las páginas de ‘El Señor de los Anillos’. Cien mil. Pues cien mil son más o menos los espectadores que caben en el Camp Nou, en el estadio del Fútbol Club Barcelona. Y, así, uno va cogiendo cantidades de referencia. Todo esto, es decir, el cálculo mental, las estimaciones… Es decir, el tener una idea intuitiva de si esto es grande, es pequeño, si tiene sentido esta cantidad… Todo esto es superimportante no solo para cuestiones prácticas, sino precisamente para gestionar la información que recibimos, para que, cuando yo oigo una noticia o alguien me está contando no sé qué historia y me dice un número o sale ahí un porcentaje, yo diga: «¿Tiene sentido o no tiene sentido? ¿Cuadra o no cuadra? ¿Es grande o no es grande?». Claro que yo puedo coger y sacar la calculadora y decir: «Espera un momento, que voy a comprobar si este dato que me has dicho ahora es grande, es pequeño, lo voy a comprobar». Pero es poco operativo, ¿no? O cuando estás viendo las noticias. Es que ya han cambiado a otra noticia.

Claro, también digo que esta es la respuesta que damos hoy en día con la realidad actual de la tecnología. Es distinta a la respuesta, a lo que se hacía con el cálculo, hace cien años y es distinto seguramente a lo que haremos cuando pasen cien años más. Claro, quizás en un futuro, de repente, todos tengamos implantado en el cerebro un chip que vaya haciendo cálculos en tiempo real. Entonces, ya no nos haga falta. No hace falta calcular porque yo ya voy procesando. También hay que ver qué efectos inquietantes o terribles, qué efectos secundarios, podría tener algo así. De hecho, podría ser la trama, el argumento, de un episodio de ‘Black Mirror’, de la serie ‘Black Mirror’. Bueno, de hecho, ya que estamos aquí, me voy a dirigir a Charlie Brooker, que es el director de la serie ‘Black Mirror’. Te voy a decir: «Charlie, si nos estás mirando, aquí tienes un magnífico guion para el próximo episodio de ‘Black Mirror’. Todo tuyo».

Carolina. Hola, Alessandro. Soy Carolina. Y, hablando de números y de matemáticas, ¿nos podrías hablar de cómo surgieron los números en la historia?

Alessandro Maccarrone. Hola, Carolina, muchas gracias por tu pregunta. Y, bueno, realmente, contar es algo que los humanos hacemos desde hace decenas de miles de años. Hay un famoso hueso, que es conocido como el hueso de Ishango, que se considera que es el primer testimonio de la capacidad humana de contar. Es un hueso que se calcula que tiene unos veinte mil años, que se encontró en la actual República Democrática del Congo. Tiene poco más de diez centímetros y lo que tiene son una serie de muescas, de marcas grabadas, que han hecho pensar que servían para contar alguna cosa. Incluso, hay una hipótesis de que estas marcas lo que contaban eran los días del ciclo menstrual, con lo cual las primeras personas matemáticas habrían sido mujeres. ¿Y qué pasa cuando empezamos a contar? Pues que, a la que empezamos a contar, lo que queremos hacer… o nos surge el problema de cómo registramos lo que estamos contando, es decir, cómo lo guardamos, cómo lo representamos para poderlo recordar luego, para podérselo decir a alguien más. Pensad en vosotros cuando vais a un bar a pedir y sois muchos y queréis pedir, ¿cómo empezamos a contar? Pues cogemos y decimos: «A ver, cuatro de bravas». Cuatro de bravas, ¿sí? Hacemos palitos como en el hueso de Ishango. Luego decimos: «Tres de croquetas». Pues tres de croquetas. Claro, luego, cuando llega la bebida, decimos: «Siete aguas». Entonces, cogemos y hacemos uno, dos, tres, cuatro… Claro que puedo hacer siete palitos. Pero, normalmente, ¿qué hacemos? Hacemos así. ¿Y esto por qué? Porque esto son cinco. Y luego añadimos dos más. ¿Con esto qué hacemos?

Le facilitamos la vida al camarero porque, cuando lo lea, no se va a tener que poner a contar ahí, sino que va a ver directamente cinco y dos, siete. Lo va a sumar y ya sabe que son siete. Pues esta idea tan sencilla es la idea que explica cómo funcionan todos los primeros sistemas de numeración que hubo en distintas culturas. ¿Cómo funcionan estos sistemas? Se usan distintos símbolos para algunas cantidades de referencia: un símbolo para el uno, uno para el cinco, uno para el diez, uno para el cien. Entonces, para escribir un número, lo que hacemos es juntar estos símbolos, ¿no? El sistema romano lo conocéis todos. Si yo pongo esto, estoy diciendo que este es el símbolo diez y diez, veinte, más dos, veintidós. Lo único que hago es poner tantos símbolos como necesite de cada tipo y sumarlos. Por eso se llaman sistemas sumativos. Entonces, el sistema egipcio era un sistema sumativo. El sistema griego también, el antiguo. El sistema romano también, aunque ya tiene algunas reglas un poco más complejas, pero, bueno, sigue siendo un sistema sumativo. En cambio, sabéis que el nuestro no es un sistema sumativo. El nuestro es un sistema de numeración posicional. ¿Por qué? Porque el valor de cada símbolo no es siempre el mismo, sino que depende de qué posición ocupa cuando escribimos el número. Si yo escribo siete, siete, siete, siete, el valor de todos estos sietes no es el mismo. Es el mismo símbolo, pero tiene valores distintos porque está en posiciones distintas. Este vale siete, setenta, setecientos y siete mil. Y el nuestro no es el único sistema posicional, sino que, por ejemplo, el sistema de los antiguos mayas también era un sistema posicional. Lo único es que, en lugar de ser en base diez, era en base veinte. Bien, como veis, aquí tenemos distintos sistemas de numeración. Pero fijaos en que, en realidad, son eso, son distintos sistemas de numeración, no son números distintos, son maneras distintas de representar los mismos números.

Todo el rato son los mismos números, que son los números naturales, que son los que sirven para contar, para ordenar. El uno, el dos, el tres, el cuatro. Claro, los números naturales son los primeros que han surgido históricamente, porque contar es una de las primeras necesidades que tenemos. Pero, a medida que va pasando la historia y surgen necesidades más complejas, pues también surge la necesidad de introducir otros tipos de números. Por ejemplo, yo de repente tengo aquí… Vamos a suponer que tengo pelotas de baloncesto y pelotas de fútbol y que quiero saber qué relación hay entre los pesos de estas pelotas. Entonces, cojo las pelotas de fútbol y las de baloncesto y las pongo en una balanza. Yo cojo aquí mi balanza y aquí pongo dos pelotas. Resulta que, cuando pongo aquí dos de baloncesto y aquí pongo tres de fútbol, F y B, la balanza se me equilibra. Bueno, pues yo veo esto. Estoy haciendo aquí una medida, estoy comparando cantidades y digo: «Vale, pues esto…». De entrada, ¿qué veo? Que la de baloncesto pesa más que la de fútbol. ¿Estamos de acuerdo? ¿Por qué pesa más? Porque con dos equilibro tres. ¿Correcto? Muy bien, esto lo veo. Pero, entonces, aquí quiero ser más preciso. Yo quiero saber a cuántas pelotas de fútbol equivale una de baloncesto. ¿Una de baloncesto pesa el doble que una de fútbol? ¿Pesa el triple? Ya veo que no pesa ni el doble en el triple. ¿Por qué? Porque menos que dos, pero más que uno. Bueno, pues entonces, ¿yo qué estoy viendo aquí? Lo que estoy viendo es que dos pelotas de baloncesto equivalen a tres pelotas de fútbol. Eso es lo que estoy viendo aquí, ¿sí? Y, por lo tanto, ¿una pelota de baloncesto a cuántas pelotas de fútbol equivale? Uno y medio, uno coma cinco. ¿Cómo lo veo? Porque, si dos pelotas equivalen a tres de fútbol, pues la mitad de pelotas de baloncesto equivalen a la mitad de pelotas de fútbol. Y aquí, sin darme cuenta, acaban de aparecer los números no enteros. Obviamente, en su momento no aparecieron como pelotas de fútbol y de baloncesto, debían de ser otros objetos, pero es a partir de la necesidad de medir cómo aparecen los números no enteros, los números que se pueden expresar como el cociente, la razón, entre dos números enteros, en este caso el tres y el dos. Tres medios, que es lo mismo que uno coma cinco o uno y medio, como decíais vosotros. Bueno, pues estos números forman, junto a los enteros, los números racionales, porque se pueden expresar como una razón entre números enteros. Pero es que, si yo sigo midiendo, llegará un día en que me interesará medir, por ejemplo, cuánto mide la circunferencia de un círculo, cuánto mide la longitud de una circunferencia de radio uno.

O cuánto mide la diagonal de un cuadrado de lado uno. Es normal, yo puedo un tener un campo cuadrado y quiero medir la diagonal. Muy bien. Y, entonces, al hacer esto, de repente me encontraré con un número al que llamaré el ‘número π’ o con un número a que llamaré ‘raíz de dos’ y descubriré que estos números no se pueden expresar como el cociente de dos números enteros. Por lo tanto, no son números racionales y habremos descubierto aquí los números irracionales. Nos han surgido de las necesidades, que se van volviendo cada vez más complejas y, a medida que estas necesidades se vayan volviendo más y más complejas, llegará un momento en que tendré que medir cosas o trabajar con cantidades que pueden crecer en dos sentidos: hacia arriba o hacia abajo, hacia la riqueza o hacia la pobreza, hacia el calor o hacia el frío. Entonces, necesitaré introducir también números negativos, que son el reflejo de los números positivos. Entonces, como veis, con el paso del tiempo, a medida que las necesidades se van haciendo más complejas, no solo los sistemas de numeración van evolucionando, sino el propio concepto de número. Y esto pensad que no es una cosa nada fácil. A veces es incluso traumática. Mirad, la antigua escuela pitagórica, los pitagóricos, que eran una escuela de filósofos de la antigua Grecia, creían, tenían la convicción, que toda la realidad se podía explicar a partir de los números racionales, que todo se podía medir y expresar como el cociente de dos números enteros. Y entonces, un día, un cierto Hípaso de Metaponto, que era un miembro de este grupo pitagórico, fue a parar con raíz de dos. Es decir, descubrió que había números que no se podían expresar como el cociente de dos números enteros.

Claro, esto, imaginaos, para este grupo para el que los números racionales eran como la base de toda la existencia, decir que había cosas más allá, números y cantidades más allá de esto, era como negar la existencia de Dios, era una herejía. Pero tampoco podían negar la evidencia, porque ahí tenían la demostración. Y, entonces, ¿qué hicieron? Un pacto de silencio. «Aquí nadie va a saber nada. Esto se va a quedar aquí dentro y nadie va a contar nada fuera de aquí». Pero Hípaso de Metaponto, que estaba orgulloso de su descubrimiento, lo explicó, lo divulgó. Y, cuando los pitagóricos se enteraron, lo expulsaron del grupo y construyeron una tumba con su nombre por si no hubiera quedado claro lo enfadados que estaban. Incluso hay una leyenda que dice que fue el propio Pitágoras quien arrojó por la borda al pobre Hípaso de Metaponto en una travesía en barco. Aquí ya estamos en las leyendas urbanas. Pero, bueno, todo esto es para deciros que, muchas veces, cuando pensamos en los números, damos por hechas muchas cosas y, en cambio, hay mucha complejidad detrás del propio concepto de número. Entonces, si nos hacemos un poco más conscientes de esta complejidad, seguramente empezaremos a valorarlos, a apreciarlos, como lo que son, que es parte del patrimonio cultural de toda la humanidad.

Cecilia. Hola, Alessandro. Mi nombre es Cecilia, soy educadora en procesos creativos. Tú eres físico y matemático. Yo soy educadora y, con mis alumnos, hablo sobre historias de las estrellas. Me gustaría que nos contaras sobre cómo medir la distancia a una estrella.

Alessandro Maccarrone. Pues muchas gracias, Cecilia. Es una buenísima pregunta y os tengo que reconocer que es una pregunta que yo no me hice de verdad hasta mucho después de tener ya los conocimientos para poderla responder. Después de haber acabado la carrera, yo me la hice porque unos alumnos me insistieron en que querían entender cómo se mide la distancia a las estrellas. Y es que, realmente, es algo que choca, que nos cuesta entender, porque, claro, nosotros tenemos una idea muy directa de las medidas. Nosotros, cuando queremos medir una barra, cogemos la regla y la ponemos encima. Cuando queremos pesar un objeto, cogemos el objeto y lo ponemos encima de la balanza. Cuando queremos medir nuestra temperatura, nos ponemos el termómetro en la boca, ¿no? Entonces, realmente, ¿con las estrellas se puede hacer algo así? ¿Yo puedo ir a una estrella y tomar medidas? Si alguien tiene dudas de cuál es la respuesta a esta pregunta, solo hace falta que investiguéis cuál es el punto más alejado de la Tierra al que ha llegado alguna vez algún ser humano. ¿Qué creéis? ¿Hasta dónde hemos llegado? ¿Cuál es el sitio más lejano? ¿La Luna, Marte, el Sol, otra galaxia? Pues, mirad, el punto más alejado de la Tierra, el récord actual, son alrededor de cuatrocientos mil kilómetros. Tened en cuenta que la Luna está a trescientos ochenta y cuatro mil kilómetros. Por lo tanto, es poco más. Nada, a la Luna. Y llegaron allí los integrantes de la misión Apolo 13, los de la película, los de «Houston, tenemos un problema», que, después de tener el accidente, tuvieron que volver y para volver hicieron una maniobra de orbitaje alrededor de la Luna y, al dar esta vuelta alrededor de la Luna, llegaron a estar a cuatrocientos mil kilómetros, poco más, de la Tierra. Nada, aquí mismo. Pensad que el Sol está a ciento cincuenta millones de kilómetros de la Tierra, es decir, que no hemos ni arañado el sistema solar. Entonces, podríamos decir: «Bueno, ya, pero también hay sondas no tripuladas». Están las sondas Voyager, que son las más famosas.

Las sondas Voyager son unas naves espaciales no tripuladas que se enviaron, se lanzaron al espacio en 1977, es decir que llevan desde 1977 alejándose de la Tierra. Hicieron unas fotos en Saturno, en Neptuno, en Urano y siguieron y se han seguido alejando. Bueno, pues las sondas Voyager aún no han salido del sistema solar y el sistema solar se calcula que tiene alrededor de un año luz de radio y la estrella más cercana, la que está aquí mismo, nuestra vecina inmediata, se llama Próxima Centauri y está a cuatro años luz. Es decir, el sistema solar tiene un radio de un año luz y Próxima Centauri, que es la estrella más cercana, está a cuatro años luz de nosotros. Es decir, que ni en broma hemos llegado a rozar una estrella. Entonces, ¿cómo es posible que sepamos tantas cosas de las estrellas? Su temperatura, su masa, la distancia. Esto nos lleva a otra pregunta. Y esta otra pregunta tiene que ver con cuál es la materia prima con la que trabaja la astronomía. Me explico. La biología trabaja con seres vivos, ¿no? Animales, plantas, microorganismos. La geología trabaja con rocas, con minerales. Entonces, ¿la astronomía con qué trabaja? ¿Cuál es la materia prima de la astronomía? La respuesta es luminosa: la luz. Todo lo que sabemos de las estrellas lo sabemos gracias a la luz que nos llega de ellas. Así es cómo deducimos la masa, la temperatura… Cualquiera de las propiedades de las estrellas la deducimos a través de la luz que nos llega de ellas. Y esto… Solo con la luz no hay suficiente. No basta con coger un telescopio y ponernos a mirar una estrella, anotar lo que vemos y ya está. Hace falta un segundo ingrediente. Y este segundo ingrediente son… ¿De qué hemos venido a hablar hoy? Las matemáticas. Las relaciones matemáticas.

Porque nosotros, cuando medimos la luz de las estrellas, medimos determinadas propiedades y, a partir de una serie de cálculos matemáticos, deducimos las propiedades que nos interesan de la estrella. Así es cómo deducimos qué masa tiene una estrella o qué temperatura, a qué distancia está. Todo esto lo sabemos aplicando relaciones matemáticas a las propiedades de la luz. Y, entre todas las relaciones matemáticas, hay un objeto matemático muy sencillo y un poco puntiagudo, que es el que nos sirve para medir la distancia a las estrellas más cercanas. Es el triángulo. El triángulo es la base para medir la distancia a las estrellas más cercanas, porque medir la distancia a estas estrellas se parece bastante a medir, por ejemplo, la anchura que tiene un río. Os voy a poner aquí un ejemplo. Vamos a imaginarnos que queremos medir la anchura de un río que no podemos atravesar. Yo tengo… Voy a representar aquí una orilla del río. Aquí, la otra orilla. Aquí voy a suponer que hay algún objeto de referencia. Un árbol, vamos a poner que hay un árbol y voy a mirar este árbol de aquí. Y yo, que estoy en esta otra orilla de aquí debajo, voy a ponerme justo delante de este árbol. Lo voy a fijar, lo voy a coger como referencia. Me pongo delante del árbol. Claro, si estoy justo delante, fijaos en que aquí mi línea de visión… Cuando yo miro el árbol, estoy mirando perpendicularmente, esto son noventa grados, estoy mirando perpendicularmente a la dirección del río. Y, entonces, desde esta posición, voy a coger y me voy a desplazar hacia este lado, por ejemplo, una cierta distancia, que mediré. Voy midiendo la distancia. Como aquí sí que estoy y puedo poner mi regla o mi cinta métrica, voy a medir. Voy a recorrer unos cien metros, vamos a poner, por poner números redondos. Cien metros hacia aquí. Y me voy a colocar aquí. Y desde aquí voy a volver a fijar y a mirar directamente al árbol.

Y desde aquí lo que voy a poder hacer es medir qué ángulo forma mi línea de visión en relación con el árbol. Pongamos este ángulo… Lo mido, y esto es algo que puedo hacer, puedo medir este ángulo porque hay teodolitos y otros aparatos que sirven para medir ángulos. Y pongamos que son treinta grados, también por poner números concretos. Bueno, pues aquí es donde ya hay un primer uso de lo que se llama hacer ‘medidas indirectas’, gracias a las matemáticas, es decir, medir cosas sin medirlas, gracias a las relaciones matemáticas. Porque yo aquí he medido este ángulo, he medido este, que eran noventa grados, pero automáticamente también puedo saber cuánto mide este ángulo de aquí. Y no he ido allí porque no puedo cruzar el río y no lo he medido, sino que automáticamente lo sé. ¿Por qué? Porque sabemos que los triángulos rectángulos o los triángulos en general, entre otras muchas propiedades, cumplen una propiedad, que es que la suma de los ángulos internos suma ciento ochenta grados. Por lo tanto, si eso son ciento ochenta grados y yo tengo noventa y treinta, este necesariamente tiene que ser de sesenta grados, con lo cual yo ya tengo todos los ángulos de este triángulo y conozco un lado. Bueno, pues yo ahora cogeré y ¿qué hago? Saco la libreta. Saco la libreta y me dibujo un triángulo. Me dibujo un triángulo. Claro, tengo mi transportador de ángulos, tengo mi regla y voy a dibujar un triángulo que tenga los mismos ángulos que este de aquí, es decir, un triángulo que se llama un triángulo parecido o ‘semejante’, porque tiene los mismos ángulos. Es como una reducción del triángulo real. Y lo dibujo y hago noventa grados, treinta grados, sesenta grados y me lo dibujo ahí. Entonces, voy a coger y voy a medir cuánto mide el lado en mi dibujo que corresponde a estos cien metros y pongamos que son… En mi dibujo, en mi libreta, esto son diez centímetros, este triángulo de aquí. ¿Sí?

Pero ¿qué pasa? Que, cuando dos triángulos tienen los mismos ángulos, son semejantes. Que sean semejantes quiere decir que es uno la ampliación del otro. Es como si hubiera hecho un ‘zoom’ hacia dentro o hacia fuera y, por lo tanto, que sea uno la ampliación del otro quiere decir que mantienen las mismas proporciones y que, por lo tanto, la misma ampliación que yo le aplico a este lado para pasar a este es la misma ampliación que le tengo que aplicar a este lado para pasar a este de aquí. Entonces, si hago un cálculo rápido aquí y divido cien metros entre diez centímetros, con los cambios de unidades, lo que sea, yo veo aquí que la escala es de uno a mil y, por lo tanto, esto quiere decir que a cada centímetro del dibujo le corresponden mil centímetros en el triángulo real. Entonces, ¿qué haré yo ahora? ¿Yo qué quiero saber? Yo quiero saber cuánto mide este lado de aquí, que es la anchura del río. Pues mediré este lado, me lo mido en el dibujo. En el dibujo veo que esto mide seis centímetros. Por lo tanto, ahora ya os he mareado con tantos números, pero si esto medía diez centímetros y aquí eran cien metros, si esto mide seis centímetros, con un cálculo rápido, ¿cuánto me dará esta anchura? Sesenta. Qué bonito que me hayáis dicho esto. Sesenta metros. Y acabáis de calcular la anchura de un río sin poderlo atravesar. Acabáis de hacer una medida indirecta gracias a un triángulo y a las relaciones matemáticas que hay dentro de un triángulo. Y me diréis: «Sí, perfecto, Sandro, precioso. Pero ¿todo esto qué tiene que ver con las estrellas? Porque nos hemos puesto aquí a medir ríos». Bueno, pues lo primero, antes de pasar a las estrellas, una última cuestión importante: es fundamental que, para poder hacer este tipo de construcción, yo me aleje lo suficiente hacia aquí, porque imaginaos que yo estoy fijando el árbol, me parto un paso y digo: «No, ya me he movido diez centímetros». Volveré a mirar y me volverá a parecer que estoy perpendicularmente al árbol. Es decir, para poder medir algún cierto ángulo distinto aquí, me tengo que alejar. Pues aquí he puesto cien metros.

Bueno, pues la manera en que medimos la distancia a las estrellas fundamentalmente es la misma que esta. En el caso de las estrellas, la estrella juega el papel del árbol. La estrella es el objeto que tenemos que observar desde dos sitios distintos para poder dibujar ahí algún tipo de triángulo que luego podamos repetir en nuestra libreta y hacer estas proporciones. Pero ¿qué pasa en el caso de las estrellas? Pues, claro, que una estrella está mucho más lejos, por lo tanto, yo no puedo observar la estrella desde aquí y moverme cien metros y volverla a observar porque la voy a ver en la misma posición, no voy a ver ninguna diferencia. Es como cuando daba solo un paso para ver el árbol. Entonces, lo primero que necesitamos hacer es encontrar una distancia suficientemente grande para poder observar desde dos posiciones distintas la estrella. Entonces, ¿cuál creéis que es la distancia más grande, la separación más grande, desde la cual yo puedo observar una estrella en dos puntos distintos? Pues una idea sería irnos a las antípodas, nos vamos al punto opuesto, diametralmente opuesto, de la Tierra, porque así aprovechamos que la separación es todo el diámetro terrestre. Bueno, pues esto no estaría mal, pero con esto no basta. Las estrellas están muy lejos, tenemos que alejarnos más. Claro, podríais decir: «Ah, una nave espacial». Pensad que estos métodos se aplicaban antes de que hubiera naves espaciales. No hace falta moverse de aquí. Lo que hace falta es tener paciencia. ¿Sabéis por qué? Porque yo mediré, observaré una estrella desde aquí, esperaré seis meses y, entonces, volveré a observar la estrella. ¿Y qué ha pasado en seis meses? Que la Tierra ha recorrido la mitad de su órbita. Con lo cual, si yo tengo aquí mi estrella y aquí hago una medida… Aquí en medio está el Sol. No es un dibujo a escala, como podéis ver.

Si yo hago una medida, esto es la Tierra, y desde aquí observo, miro, hacia la estrella y me espero a dar media vuelta alrededor… Esta es la órbita. Y me espero. Esto lo hago aquí el veintiuno de junio y, entonces, aquí vengo el veintiuno de diciembre. Y desde aquí vuelvo a mirar la estrella. Todo esto se hace viendo la inclinación de la estrella en el firmamento. Se deducen estos ángulos. Fijaos aquí en qué ha pasado. ¿Cuál es la separación? Esto es como los cien metros que recorríamos en el río. ¿Qué separación tenemos aquí? Tenemos, como separación, todo el diámetro de la órbita terrestre que son trescientos millones de kilómetros. Tenemos una separación… Los cien metros pasan a ser trescientos millones de kilómetros. Bueno, pues aquí, como veis, yo me puedo dibujar otro triángulo a partir de ver los distintos ángulos con los que observo una estrella. Me dibujo, me cojo mi libreta, me dibujo un triángulo parecido a este, semejante a este y, como conozco esta distancia, encuentro cuál es la relación entre mi dibujo y el triángulo real o el triángulo que describe la situación real, y a partir de aquí puedo deducir cuánto mide este lado, que es la distancia que nos separa de las estrellas. Entonces, obviamente os podéis imaginar que, en la práctica, las cosas no van exactamente así. Es decir, no nos dedicamos a ir haciendo dibujitos y hacer medidas. Alguien ya ha hecho estos dibujos, hay unas relaciones, que son las relaciones trigonométricas, que nos permiten automáticamente, si yo sé los ángulos de un triángulo y conozco un lado, deducir automáticamente los otros lados. Pero fijaos: la trigonometría y el triángulo, este aliado tan sencillo y tan puntiagudo, es lo único que nos permite llegar hasta donde no llegan ni nuestros sentidos.

Leire. Hola, yo soy Leire. Yo también estoy estudiando el bachillerato tecnológico. Últimamente se habla mucho sobre los números primos y me gustaría saber por qué son tan importantes o por qué gustan tanto dentro de las matemáticas.

Alessandro Maccarrone. Leire, pues muchísimas gracias. Y, efectivamente, claro, los números, como todos los conceptos matemáticos, surgen a partir de necesidades prácticas, de necesidades humanas. Pero lo bonito, lo más interesante de las matemáticas, es que, una vez surgen, una vez se empiezan a utilizar, se emancipan de estas necesidades humanas y cobran sentido en sí mismos. Es un poco como si nos regalaran un juego con una serie de piezas y las instrucciones dicen que las piezas hay que usarlas de una determinada manera. Y vamos jugando y descubrimos que, en realidad, se pueden hacer muchas más cosas con estas piezas. Con los números, con los números naturales, de entrada yo tengo estos bichos ahí y ¿qué hago? Pues me pongo a estudiarlos. Me pregunto: ¿todos se comportan igual? ¿Qué relación hay entre ellos? ¿Qué propiedades tienen estos y estos otros? Fijaos en que es como estar estudiando animales exóticos en su hábitat. Estamos mirando a ver aquí qué clasificación puedo hacer. Y, claro, de entrada, hay algunas clasificaciones que son inmediatas: por ejemplo, números pares y números impares, los que se pueden dividir en dos grupos exactos y los que no se pueden. Y, bueno, con esto ya pues reparto los números de una calle los pares a un lado y los impares a otro lado. Pero luego también puedo preguntarme, por ejemplo, por la forma de los números, qué forma pueden tener los números. Por ejemplo, hay una serie de números que, como sabéis, tienen forma de cuadrado o se pueden representar en forma de cuadrado. Por ejemplo, el cuatro. Pues el cuatro tiene forma de cuadrado si lo represento con puntitos. Con puntos represento el número. El nueve es otro número cuadrado. El dieciséis es otro número cuadrado. Si queremos, el uno también es un número cuadrado de lado uno. Pues aquí ya veo que hay algunos números que pueden tener forma.

Y hay números que no pueden ser… La mayoría de números no son números cuadrados, pero sí que pueden tener forma de rectángulo. Por ejemplo, el seis yo lo puedo representar en forma de rectángulo con dos filas y tres columnas. Pues aquí ya me pasa un poco como con las servilletas. Es decir, que me pongo a pensar de cuántas maneras… cuántos rectángulos puedo hacer, cuántos rectángulos puedo formar, con seis bolitas como estas. ¿Cuántos rectángulos podemos formar con seis bolitas? Dímelo tú misma si quieres. Dos. Aquí nos salen dos, que sería este y otro, que es el mismo girado noventa grados. Pero podemos estirar un poco la definición de rectángulo igual que lo hemos hecho antes con el cuadrado y vamos a aceptar también rectángulos fila o rectángulos columna. Entonces, yo con seis fichas también puedo hacer un rectángulo que sea una fila y seis columnas o puedo hacer un rectángulo que sean… Son seis, sí. Una columna y seis filas. Por lo tanto, de aquí tengo cuatro opciones. ¿Y con el doce? ¿Cuántas tendré con el doce? ¿El doble? Esto está bien, porque aquí tenemos una intuición, pero luego hay que comprobarla. ¿Alguna idea de cuántas son? Si lo hacéis, no lo voy a hacer aquí, veréis que hay seis posibilidades, en realidad. Tenéis seis posibilidades jugando con seis rectángulos, con doce fichas. Muy bien. Pero, entonces, cogeré y probaré otro número y pruebo, por ejemplo, con siete fichas. Con siete fichas… ¿Cuántos rectángulos puedo formar con siete fichas? Pues aquí lo probaré y diré que aquí solo tengo dos opciones. Tengo el rectángulo fila y el rectángulo columna, ¿verdad? Solo tengo dos opciones. Intento encajar.

Aparte, esto es divertido hacerlo con fichas de verdad, porque uno va probando. «Es que no me cuadra. Me sobra una por aquí, me falta una por aquí». Bueno, pues el siete ya tiene un comportamiento distinto. Vamos a llamarlo… Es un número fila o un número columna. Vale, pero, entonces, me pongo a investigar y resulta que con el cinco pasa lo mismo. Solo tiene una fila y una columna. No le puedo dar otra forma de rectángulo. Con el once pasa lo mismo. Con el trece pasa lo mismo. Entonces, claro, nosotros estamos aquí estudiando a los animales, estos bichos, los números naturales en su hábitat y, a la que tú ves unos cuantos animales que se comportan de la misma manera, dices: «Yo tengo que ver qué es lo que tienen en común, porque esto quiere decir que son de la misma especie», ¿no? Entonces, me los miro y digo: «Claro, el doce, el siete, el cinco…». No, perdón, el doce, no. El siete, el cinco, el once, el trece. Todos estos tienen este mismo comportamiento. Entonces, digo: «Ah, ya sé qué es lo que pasa. Claro, ¿qué tienen de distinto estos respecto al doce y al seis? Que son números impares, ¿no? Claro, es porque son números impares». Entonces, siempre que yo coja un número impar solo voy a poder hacer filas y columnas, ¿correcto? Pero, si cojo quince, resulta que yo puedo hacer un rectángulo de tres filas y cinco columnas. Entonces, ¿lo que tienen en común y que hace que solo puedan tener una fila y una columna es que son impares? No es esto. El problema no es que sean impares, no es esta la clave, no es esto lo que hace que se comporten de esta manera. ¿Qué es lo que tienen en común estos números? En estos números, para entender lo que tienen en común, tengo que ir a interpretar, ahora sí, matemáticamente, qué significan las filas y las columnas de estos rectángulos. Claro, si yo puedo representar el seis como un rectángulo de dos filas y tres columnas, quiere decir que el seis se puede dividir entre dos y entre tres de manera exacta. Y el doce se puede dividir entre cuatro y entre tres. Y el quince se puede dividir entre tres y entre cinco.

En cambio, si yo un número solo lo puedo representar como una fila o como una columna, ¿qué quiere decir? ¿Que cuántos divisores tiene? Dos, que son el uno, una fila, y sí mismo. Bueno, pues como sabéis, esta es la definición de números primos. Pero fijaos en que no nos la ha revelado nadie, es que sale de manera natural a la hora de investigar las propiedades de estos números. Entonces, bueno, pues me podríais decir: «Vale, pues ahora vemos y además tenemos una interpretación geométrica de los números primos. Pero ¿por qué esta obsesión con los números primos? ¿Por qué son tan importantes? ¿Por qué se les da tanta importancia en la investigación matemática?». Bueno, esto es culpa de un tal Euclides de Alejandría, que hace más de dos mil años descubrió algo muy fuerte. Euclides demostró, publicó en sus obras, que cualquier número natural, todo número natural, se puede expresar siempre como producto de números primos. Pero es que, además, la manera, este producto de números primos es único. Hay una única manera de expresar cualquier número natural solo como producto de números primos. Estoy seguro de que vuestras vidas no serán iguales a partir de ahora. Parémonos un momento a pensar en lo que estamos diciendo aquí. Es decir, lo que estamos diciendo es que cualquier número siempre se puede expresar como una multiplicación en la que solo salgan números primos. Vale, esto pase, pero es que estamos diciendo algo mucho más fuerte: estamos diciendo que esta manera es única, solo hay una única manera en la que yo puedo expresar el veinticuatro, voy a escribirlo aquí, como producto de números primos. El veinticuatro, hay muchas multiplicaciones que me dan veinticuatro: seis por cuatro, ocho por tres, dos por cuatro por tres. Puedo buscar muchas multiplicaciones, pero hay una única multiplicación formada solo por números primos que me da el veinticuatro. ¿Cuál es?

Dos por dos por dos por tres, que también con las potencias yo puedo expresar como dos a la tres por tres. Pero fijaos en qué quiere decir esto. Esto quiere decir que dos elevado a tres por tres es el DNI del número veinticuatro, es su ADN. Es decir, toda la información que necesito saber sobre el número veinticuatro está contenida aquí dentro, son sus ingredientes fundamentales, igual que el quince es tres por cinco y nadie más es tres por cinco. Por, ejemplo el treinta y tres es once por tres y nadie más es once por tres. Y así sucesivamente. Pues fijaos en que, entonces, esto quiere decir que los números primos son los constituyentes básicos de los números naturales. Igual que toda la materia sabéis que está hecha de electrones y de cuarks y que, combinando los cuarks y los electrones, salen otras partículas y salen todos los elementos y toda la materia que conocemos, todos los números naturales se pueden formar a partir únicamente de los números primos. Este es el motivo por el cual se dedican tantos esfuerzos a investigarlos, a entenderlos, a ver cuántos hay, cómo se distribuyen, qué propiedades tienen. Y hay un montón de resultados famosos, de teoremas, de conjeturas que tienen que ver con los números primos. Hay una, bastante famosa, que es la conjetura de Goldbach. Es una conjetura muy interesante porque es muy sencilla de explicar. Es muy sencilla de formular. Dice lo siguiente. Dice: cualquier número par, cualquier número par mayor que dos se puede expresar siempre como la suma de dos números primos. Ya está, así de sencillo. Por ejemplo, decime un número par bajito. El ocho. Vamos a coger el ocho. ¿El ocho cómo se os ocurre que se puede expresar como suma de dos números primos? Cinco más tres. Perfecto. Otro, el dieciséis. A ver, ¿quién quiere? Tú querías. ¿Cómo te llamas?

Aarón. Aarón.

Alessandro Maccarrone. Aarón, dime.

Aarón. Once más cinco.

Alessandro Maccarrone. Once más cinco. Y fijaos en que en este caso hay más posibilidades, porque también tendríamos otra. ¿Qué otra tendríamos aquí? Trece más tres. Trece más tres también da dieciséis. Bueno, podéis seguir probando todas las veces que queráis y lo encontraréis siempre, siempre encontraréis… Si buscáis en internet, hay calculadoras de la conjetura de Goldbach a que le podéis poner un número enorme par y os dará su descomposición o todas sus descomposiciones en suma. Cuidado, no producto, ahora, sino suma de dos números primos. Y, aun así, a pesar de que nos parezca obvio que eso tiene que ser así porque probamos y probamos y nunca falla, probar una cosa muchas veces y que funcione no es equivalente a que la hayamos demostrado. Y esto todavía hoy en día aún no se ha demostrado y han pasado más de trescientos años desde el momento en el que Christian Goldbach le envió una carta a Euler en que le proponía esta conjetura. Y esto es lo que fascina mucho de esta conjetura, que es tan sencilla de explicar, que todos no solo la entendemos, sino que la estamos poniendo en práctica y, en cambio, en trescientos años ninguno ha conseguido demostrarlo todavía. Pero es que además de todos estos resultados teóricos o puramente matemáticos de los números primos, me habéis dicho que sois del bachillerato tecnológico muchos y muchas de vosotros. Os gustará saber que los números primos tienen muchas e interesantes aplicaciones tecnológicas, porque se utilizan mucho, por ejemplo, en el ámbito de la encriptación. Para encriptar mensajes, los mensajes que enviamos con el móvil, allí hay números primos, uso de números primos ahí en medio. ¿Por qué, qué es lo que se utiliza aquí? Se utiliza la dificultad que a veces tenemos para factorizar un número en números primos. Porque, claro, si yo os doy el número veintiuno, todos me diréis que esto es tres por siete. Y, si os doy el número, por ejemplo, treinta y nueve, este es trece por tres. Muy bien, trece por tres.

Y, si os doy el número veintitrés mil setecientos siete, ¿qué me diréis? Bueno, aquí os tendré que dejar un rato. Si lo tenéis que hacer a mano, igual os lleva unas cuantas horas. Con calculadora, igual, un poco menos. ¿Por qué? Porque este número, veintitrés mil setecientos siete, es el producto de dos números primos, ciento cincuenta y uno por ciento cincuenta y siete. Entonces, imaginaos todo lo que tenemos que probar antes de llegar hasta ciento cincuenta y uno y ciento cincuenta y siete. Y si queréis ya amargarle la tarde a alguien que os está hablando por el móvil y queréis que os deje en paz, pues os vais a internet, buscáis una página donde estén listados los números primos hasta… que haya una lista larga de números primos y buscáis dos números primos de setecientas cifras cada uno, los multiplicáis, con lo cual os saldrá un número de unas mil cuatrocientas cifras y decís: «Hala, factorízalo. Busca los factores primos de este número». Y no os preocupéis porque no lo conseguirá ni en toda la tarde ni en toda su vida, ni aunque utilice la calculadora, ni aunque utilice los ordenadores más potentes que existen hoy en día, porque este problema no lo pueden resolver los ordenadores. Los ordenadores actuales no son capaces de resolverlo. Y en esto es en lo que se basa la criptografía de la mensajería de internet y de los móviles. Nosotros, si interceptamos un mensaje de móvil que no nos han enviado a nosotros, para descifrar su contenido, tendríamos que factorizar un número de mil cuatrocientas cifras, de más de mil cifras, para obtener uno de los números primos que sale ahí. Claro, la persona que recibe el mensaje tiene la clave y la clave es uno de estos dos números primos. Entonces, divide y encuentra el otro y deshace la clave. Pero, si nosotros lo interceptáramos, no conseguiríamos hacerlo de ninguna manera. Y esto quizás es lo que explica por qué hay tanto interés.

Seguro que habéis oído muchas veces esta obsesión de «Descubierto el nuevo número primo más grande de la historia». Claro, pensad que hoy en día el número primo más grande que se conoce, que se descubrió en 2018, hace… Hasta esta mañana era el más grande. No sé si ahora en estas horas alguien ha descubierto alguno otro. Pero en 2018 se descubrió un número que tiene más de veinticuatro millones de cifras. Cuidado, no estoy diciendo que sea el número veinticuatro millones y pico, que el número sea este. No, es que esta es la cantidad de cifras… Imaginaos solo el papel necesario para escribir este número. No lo descubrió una persona. Lo descubrieron muchas personas en un proyecto de computación distribuida. Usuarios de todo el mundo comparten la potencia de sus ordenadores, dejan que haya un programa corriendo en sus ordenadores, para ir probando e ir buscando si un número es primo o no es primo. Y así es como se descubrió este número primo, que es el campeón hoy en día, es el máximo número primo que se conoce. Lo que pasa es que yo os acabo de decir que para encriptar en el móvil hacen falta números primos grandes pero no tan grandes. Os he dicho números primos de setecientas cifras, de ochocientas cifras, pero no de veinticuatro millones de cifras. Entonces, ¿por qué esta obsesión de seguir buscando el número otro, el más grande, el más grande? ¿Qué se busca con esto? ¿Se está buscando el número primo más grande que existe? Siento decepcionaros, pero otra vez llega Euclides a decirnos que no, porque Euclides también demostró hace años que sabemos que los números primos son infinitos. No se acaban nunca. Aunque encuentres uno muy grande, siempre hay uno mayor que ese. Entonces, ¿por qué esta obsesión por buscar números primos más grandes, más grandes y aún más grandes? Cuando alguien me pregunta esto, a mí me gusta responder lo mismo que respondía el escritor uruguayo Eduardo Galeano cuando le preguntaban que para qué sirven las utopías.

Entonces, él decía que las utopías son como el horizonte. Están allá a lo lejos. Tú das un paso hacia el horizonte y el horizonte se aleja un paso. Tú das diez pasos y se aleja diez pasos más. Entonces, ¿para qué sirven las utopías? ¿Para qué sirve seguir buscando números primos? Pues sirve para eso, para seguir caminando.

Ángela. Hola, Alessandro, mi nombre es Ángela y, como graduada de una carrera de la rama económica, hay algo que te he escuchado y que me llamó mucho la atención y es que las matemáticas contribuyen a una sociedad más libre y más justa. Y me gustaría que nos explicases el porqué.

Alessandro Maccarrone. Mirad, yo creo que estaréis de acuerdo conmigo en que una sociedad con cultura matemática es una sociedad que puede resolver más problemas y, en este sentido, es una sociedad más libre porque tiene más capacidad de llegar a donde quiere. Una sociedad con cultura matemática, además, es más difícil de manipular, puede tener un sentido más crítico ante la información que recibe y, por lo tanto, también puede ser una sociedad más justa. Pero yo creo que, si realmente queremos hacer cierto este mensaje, esta idea de que las matemáticas pueden contribuir a una sociedad más justa y más libre, lo primero que tenemos que hacer es cambiar la propia mirada que tenemos sobre las matemáticas y dejar de pensar en las matemáticas solo como un instrumento para resolver cosas. Tenemos que promover una mirada mucho más humanística sobre las matemáticas, porque, sí, las matemáticas forman parte de las humanidades, no porque sirvan de inspiración al arte, a la música, a la literatura, que también, también hay algo de esto, pero porque las matemáticas son una parte esencial de las humanidades en primer lugar porque son una creación humana. Y, como toda actividad humana, está sujeta a consensos, a debates, a arbitrariedades también. Por ejemplo, el número uno, el uno. ¿Es un número primo el uno? Pues depende. Hasta el siglo xix se consideraba que era un número primo, porque solo se puede dividir entre uno y entre sí mismo. Pero, en cambio, en la actualidad hay un consenso bastante amplio en que el uno no se tiene que considerar un número primo porque, si no, no funciona el teorema fundamental de la aritmética, el de que todos los números se pueden descomponer de manera única en números primos. Por lo tanto, son una creación humana. Pero, además, las matemáticas configuran, moldean, nuestra visión del mundo, la forma en que nosotros entendemos lo que pasa en nuestra sociedad.

Tú has dicho que venías de una carrera económica. Pues cada vez que leemos en algún sitio que el uno por ciento más rico de la población mundial controla el cuarenta por ciento de los recursos, leemos un dato así y nos escandalizamos. Nos llevamos las manos a la cabeza y decimos: «Esto no es proporcionado, esto es poco proporcionado». Fijaos en lo que estamos haciendo. Estamos aplicando un concepto matemático para emitir un juicio ético. Estamos analizando la realidad con un prisma matemático. O cuando, durante siglos, se creyó que la gravedad era una fuerza. Y, en cambio, en el siglo xix, una serie de matemáticos, Riemann, Lobachevsky, Gauss, desarrollaron, las matemáticas no euclídeas, matemáticas en espacios curvados. Y, gracias a que alguien desarrolló estas matemáticas, a otro alguien, un tal Albert Einstein, se le ocurrió que igual la gravedad no era una fuerza, sino que era una manifestación de la curvatura del espacio-tiempo, con lo cual también nuestra visión de la naturaleza, del universo, está moldeada por el prisma matemático. Y las matemáticas son parte de las humanidades porque nos pueden producir placer estético. Hay toda una belleza a nuestro alrededor que es invisible, a la cual no podemos acceder a través del resto de los sentidos. Solo si nos ponemos las gafas matemáticas podemos captar toda esta belleza hecha de formas geométricas, de patrones, de regularidades. Las matemáticas forman parte, sin duda, de las humanidades. Y dejadme que acabe con una historia que es de otro ámbito, de otra de mis grandes pasiones, que es la literatura. Es una historia que tiene que ver con Primo Levi. Primo Levi es un escritor italiano que de formación es químico. Fijaos también aquí en la conexión literatura y ciencia.

Él era químico, era de origen judío y fue detenido y pasó un año en el campo de concentración de Auschwitz. Consiguió sobrevivir y, precisamente su obra principal, su libro más importante, que se titula ‘Si esto es un hombre’, relata su experiencia, su paso por el campo de concentración de Auschwitz. Hay un capítulo que me gusta especialmente de este libro que se titula «El canto de Ulises», y en este capítulo explica que un día están allí trabajando y le toca a él ir a buscar la comida para todo el grupo. Entonces, tiene que cruzar todo el campo de una punta a otra y lo acompaña en este trayecto otro prisionero, francés, a que todos llaman Pikolo. Se van para allí, no se entienden demasiado porque Pikolo hablaba francés, él habla italiano, y van hacia allí. Claro, durante el trayecto podrían hablar de muchas cosas. Podrían hablar, por ejemplo, de lo terrible que es lo que les está pasando, de cómo añoran a sus familias, de la suerte relativa que han tenido de ir a parar al grupo de químicos donde las condiciones de vida no están tan mal como en el resto del campo. Pero no hablan de nada de todo esto. Durante el trayecto, Pikolo le dice que le encantaría aprender italiano. A Primo Levi no se le ocurre nada mejor para ayudarle a aprender italiano que hablarle de la ‘Divina Comedia’ de Dante, del ‘Infierno’ de la ‘Divina Comedia’ de Dante. Y de alguna manera consigue hacerse entender y le explica uno de los cantos, uno de los capítulos, de la ‘Divina Comedia’ de Dante. El canto vigesimosexto, que es el que habla precisamente de Ulises, es «El canto de Ulises». ¿Por qué escoge esto, Primo Levi? Pues porque en medio del horror que está viviendo, en el texto de Dante encuentra las palabras necesarias para describir ese infierno que ellos también están viviendo allí, las condiciones que están pasando. Pero lo hace también por otro motivo. Lo hace porque, recuperando esta obra literaria italiana, él reivindica su condición humana.

En el contexto que él está viviendo, en que cada día se pone en cuestión que realmente sean humanos los prisioneros del campo de Auschwitz, él se siente humano reivindicando esta obra de la literatura italiana. Y, además, no es casual que escoja precisamente «El canto de Ulises». En este canto, Ulises le explica a Dante… Dante encuentra a Ulises en el infierno y Ulises le explica sus últimos días, los últimos días de su vida, y le explica cómo con una nave, con un barco, han superado las Columnas de Hércules. Las Columnas de Hércules se encontraban en el actual estrecho de Gibraltar y Ulises ha superado estas columnas, ha navegado durante días y por fin divisan tierra a lo lejos. Y, cuando divisan tierra por fin y creen que van a llegar, de repente aparece un terrible remolino que engulle la nave y la arrastra hacia las profundidades. Este remolino es el castigo de los dioses, que castigan a Ulises por haberse atrevido a ir más allá de las columnas de Hércules, que eran el límite tras el cual ningún ser humano podía viajar. Pues, en el momento álgido en que la barca está a punto de hundirse y reina el caos en la tripulación, Ulises se dirige a la tripulación, les grita y les dice: «Recordad vuestra condición humana. Recordad que no nacisteis para vivir como bestias, sino para seguir la virtud y el conocimiento». El conocimiento. Es cierto, nosotros somos seres vivos porque comemos, porque nos reproducimos y porque nos relacionamos. Pero lo que nos hace realmente humanos es la capacidad de razonar. No hay nada más esencialmente humano que la razón y el conocimiento. Y yo creo que no hay conocimiento más libre que el de las matemáticas.