Quants afinadors de piano hi ha a Chicago?

Alessandro Maccarrone. Hola, em dic Alessandro Maccarrone i soc doctor en Física Teòrica. Soc també divulgador científic i professor de secundària. I avui he vingut aquí per intentar canviar una mica la vostra visió de les matemàtiques i per intentar convèncer-vos que, a més de ser útils i necessàries, poden ser, sobretot, un infinit plaer. Però, abans, deixeu-me que us expliqui una mica com he arribat a aquesta conclusió. Suposo que, pel meu cognom, heu deduït que soc d’origen italià, i la veritat és que la meva família italiana ha tingut molta influència en mi. Sobretot, un tiet meu, el germà gran del meu pare, “zio” Ilio, a qui m’unia una relació molt especial. “Zio” Ilio era advocat, però, en realitat, la seva passió havia estat sempre la física i les matemàtiques. Li hauria agradat estudiar Física, però els seus pares, els meus avis, no li van deixar. Li van dir: “No, estudia Dret, que tindràs moltes més sortides professionals, trobaràs feina”. I això va fer. I es va convertir en un advocat molt bo. Però ell no va perdre la passió per les matemàtiques i per la física, i va continuar estudiant pel seu compte. I li enantava explicar a la resta, compartir amb la resta de gent, el que sabia, el que aprenia. Recordo que un estiu el vam passar tots junts, tota la família, en un poble d’Itàlia, en un poble que es diu Lavínium, que està a uns 40 quilòmetres de Roma i que, segons explica la llegenda, és on va desembarcar Enees quan va arribar a la península Itàlica. I érem allà tota la família en una casa, els meus avis, els meus tiets i els meus cosins, que són més grans que jo. I, res, compartíem el temps d’estiu. I els meus cosins tenien sempre una assignatura per recuperar a setembre. Endevineu quina era l’assignatura que sempre havien de recuperar. Les Mates.

Sempre hi havia algú que havia de recuperar les Mates. Aleshores, el meu tiet, a qui li encantava parlar de matemàtiques, s’oferia per fer-los classes particulars de matemàtiques a les tardes. Aleshores, menjàvem tots junts… Imagineu-vos-ho: estiu, tota la família, taules enormes i, després de menjar, cadascú feia una mica el que volia. Uns anaven a dormir la migdiada, d’altres jugaven a cartes. No hi havia mòbils, tauletes, etcètera. Doncs, bé, cadascú feia el que volia i, aleshores, era el moment en què el meu tiet aprofitava i seia a la taula del jardí amb el cafè i es posava a fer classes particulars de matemàtiques i de física als meus cosins. Jo tenia uns deu anys i, en lloc de dir: “Bé, doncs vaig a la platja, vaig a jugar”, què feia jo? Agafava la cadira, em posava al seu costat i em posava a mirar com el meu tiet feia classes de matemàtiques als meus cosins, perquè a mi això em semblava al·lucinant. Jo, és clar, amb deu anys feia unes matemàtiques molt més senzilles. Aleshores, començava a veure allà àlgebra, operacions amb lletres, fórmules, gràfics. Tot això em semblava increïble. Era una mena de llenguatge d’adults i jo en volia formar part. Volia entendre el que feien. I, bé, aleshores, tant és així que vaig pregar, vaig suplicar al meu tiet i li vaig dir: “Si us plau, fes-me a mi també classes particulars de matemàtiques i de física”. Insisteixo: estiu, Roma, platja, i que escullo fer? Classes de matemàtiques. Bé, ningú no és perfecte. Doncs així va ser. Ho vaig demanar al meu tiet i, sorprenentment, hi va accedir de seguida encantat. Jo crec que hi va veure un filó. Tenia l’esperança que algú pogués seguir els passos que ell no havia pogut seguir, que algú s’animés i estudiés Matemàtiques i Física. I així em va fer les primeres classes de matemàtiques, d’àlgebra. Així vaig aprendre els primers conceptes sobre com està fet un àtom. Res, van ser quatre o cinc classes, no gaire més. No em va explicar gaires coses, però va ser suficient.

Això em va canviar completament. Ja tenia facilitat per a les matemàtiques, la ciència, però, a partir d’aquell moment, ja no només volia aprendre matemàtiques i física. Jo, a partir d’aquell moment, vaig tenir clar que en volia formar part, és a dir, jo volia que això formés part de la meva identitat. Em volia dedicar a les matemàtiques i a la física. Tant és així que després vaig fer l’institut, vaig acabar l’institut i vaig tenir claríssim que m’apuntaria a la Facultat de Física, i em vaig apuntar a Física a la Universitat de Barcelona. Vaig fer la carrera, m’ho vaig passar molt bé. Vaig acabar la carrera, vaig començar el doctorat i vaig fer un doctorat en Física Teòrica. La meva tesi es titulava ‘Anàlisi microscòpica de forats negres amb rotació’. Imagineu-vos-ho, sona a ciència-ficció. És a dir, jo estava en el punt àlgid: em dedicava al que m’agradava, feia una tesi que podia venir d’un llibre de ciència-ficció… i, així i tot, notava que em faltava alguna cosa. Hi havia alguna cosa que no acabava de funcionar. I, aleshores, em vaig adonar que el que em faltava era la il·lusió que havia vist en el meu tiet, en “zio” Ilio, aquelles tardes a Lavínium quan compartia el que sabia amb els meus cosins. És a dir, el fet de poder compartir el que saps i explicar-ho a una altra persona. És clar, jo feia coses superinteressants, però que eren tan complicades, tan abstractes, que no en podia parlar amb ningú. Bé, aleshores, hi vaig estar donant moltes voltes fins que vaig prendre una decisió dràstica. Vaig deixar la universitat i em vaig encaminar cap a la docència. I la veritat és que fa més de 15 anys que em dedico a la docència, a l’ensenyament de les matemàtiques i de la física. He estat professor de secundària, a l’ESO i a Batxillerat, he estat formador de docents, m’he dedicat també a elaborar materials didàctics, educatius, de matemàtiques i de física.

I, com us podeu imaginar, en tot aquest temps he tingut l’ocasió de pensar molt sobre quines visions té la gent de les matemàtiques. Per què hi ha aquest estigma de les matemàtiques? Aquesta por, aquestes palpitacions que ens agafen, quan hem de fer matemàtiques, a molta gent. I sabeu de què m’he convençut? Que, per a molta gent, les matemàtiques són una mena d’amor impossible. Un amor impossible és aquell sense el qual no pots viure, és a dir, no pots viure sense ell, però quan intentes tenir una relació estable, la cosa no funciona. Aleshores, ho intentes i no funciona i no funciona i dius: “Bé, cal deixar-ho”. Aleshores, per deixar-ho, inventes qualsevol excusa. Aleshores, vas allà i dius: “No, no ets tu, soc jo”. Bé, en matemàtiques no dius això, dius: “Jo no estic fet per a les matemàtiques, jo soc de lletres, jo no tindré mai facilitat per a les matemàtiques”. T’inventes qualsevol excusa i acabes deixant escapar el que hauria pogut ser el gran amor de la teva vida. Però què passa amb els amors impossibles? Que, després, et persegueixen la resta de la teva vida. I, amb les matemàtiques, passa una mica això, que te les acabes trobant per totes bandes. No en pots fugir. No us podeu imaginar la quantitat de gent, d’amics, de coneguts, que, com que saben que soc professor de matemàtiques, em truquen, m’escriuen i em fan consultes de matemàtiques. “Sandro, escolta’m, que estic aquí fent una factura i m’han de donar mil euros nets, però, aleshores, no sé quin és el brut que he de posar perquè em donin mil euros nets”. O els pares que, amb tota la bona voluntat del món, volen ajudar els seus fills a fer els deures de Matemàtiques. “Sandro, que estem aquí resolent equacions i ara no me’n recordo. Quan un nombre passa a dividend, canvia de signe o es deixa igual?”. Bé, totes aquestes coses, perquè al final les matemàtiques tot el món les acaba necessitant en qualsevol moment.

Bé, la qüestió és que jo estava una mica donant voltes a aquest assumpte de què podria fer per tornar l’esperança en les matemàtiques a tota la gent que l’ha perdut fa temps perquè ha tingut una mala experiència o, simplement, perquè les té oblidades, com puc apropar les matemàtiques al públic en general, a qui ja no és a l’escola o a qui ja no està estudiant. I, bé, mentre hi donava voltes, maquinant a veure què puc fer, què no puc fer, un dia rebo una trucada de telèfon. Era un excompany de l’institut que ara resulta que és director d’una editorial. L’editorial es diu Blackie Books i el director, aquest excompany, es diu Jan Martí. I, bé, en Jan és una mica més jove que jo. Era company de classe del meu germà, que també és més jove, i resulta que en Jan, en algun moment de l’institut, també se li van entravessar les matemàtiques, hi havia alguna cosa que no entenia. Aleshores, què va fer? Doncs va trucar al professor particular de capçalera de matemàtiques, que era jo mateix, i aleshores li vaig estar fent unes quantes classes particulars de matemàtiques, el vaig tenir d’alumne, li vaig fer unes quantes classes, vam desencallar l’assumpte i ja està. Evidentment, no ho vaig fer del tot malament, perquè, quan va arribar a les oficines de Blackie Books, em fan seure i em diuen: “Sandro, tenim el projecte d’escriure, de publicar, un llibre de matemàtiques, però volem que sigui un llibre que desmunti el mite de la dificultat, un llibre escrit des de l’amor a les matemàtiques, des del plaer de les matemàtiques. I creiem que la persona idònia per escriure’l ets tu”. És clar, us ho podeu imaginar. A mi, que ja hi donava voltes per veure què puc fer per apropar les matemàtiques a la gent, com trenco aquest mite de la dificultat, em proposen que escrigui un llibre sobre el plaer de les matemàtiques. Vaig trigar mig segon a acceptar-ho.

I, bé, aquesta és una mica la meva història i, sobretot, la història del meu llibre, que es titula ‘El infinito placer de las matemáticas’.

Álvaro. Hola, Alessandro, em dic Álvaro, i has comentat diverses vegades que les matemàtiques són divertides. I també el meu professor diu el mateix, encara que jo no hi veig cap plaer. Em podries convèncer que les matemàtiques són divertides i plaents, ja no només per a nosaltres, els estudiants, sinó per al món sencer?

Alessandro Maccarrone. Bé, Álvaro, moltes gràcies, i m’alegro molt que em facis aquesta pregunta. He de reconèixer que me l’esperava una mica perquè, quan la gent sent el títol del meu llibre, sorgeix habitualment. Segur que tots estem d’acord, o tots veiem molt clar que les matemàtiques són útils, que són necessàries a la vida per resoldre qüestions pràctiques: calcular el canvi quan compro, adaptar una recepta per a un altre nombre de persones. Però, a més d’això, també les matemàtiques són útils i necessàries per processar tota la informació que rebem contínuament dels mitjans de comunicació, a les xarxes, quan contractem un servei. Aquesta informació està plena de continguts matemàtics, gràfiques, dades, percentatges. Aleshores, si no entenem bé aquests conceptes, és més fàcil que no entenguem bé aquesta informació, que ens puguin manipular, que tinguem menys sentit crític. Però, a més, les matemàtiques són el llenguatge en què s’expressen la ciència i la tecnologia. Aleshores, si volem entendre una mica millor quina és la visió que tenim actualment de l’univers, de la natura, i com modelem aquesta natura a través de la tecnologia, val més que sapiguem matemàtiques perquè, si no, ens quedarem en una capa molt superficial. I, mireu, hi ha un matemàtic i divulgador molt bo, que és Eduardo Sáenz de Cabezón, que diu sovint que les matemàtiques són també un entrenament per aprendre a pensar més i millor. I per això sembla que Plató va decidir incloure l’ensenyament obligatori de les matemàtiques a la seva Acadèmia, a l’Acadèmia de Plató. És a dir, fixeu-vos en totes les coses per a les quals necessitem matemàtiques: per a qüestions pràctiques, per processar la informació, per entendre la ciència i la tecnologia, per pensar més i millor.

I, no obstant això, jo crec que no és suficient. Això no és suficient perquè la gent es llanci apassionadament a aprendre matemàtiques. La clau perquè la gent vulgui aprendre matemàtiques crec que es troba, precisament, en el desig i el plaer. Sí, sí, en el plaer. Ja sé que moltes vegades costa posar a la mateixa frase “plaer” i “matemàtiques”. Veig algú allà, al fons, que està tenint una mena de tic nerviós en sentir-ho. Bé, doncs creieu-me que és així, que aquí és on hi ha la clau, encara que és cert que no sempre és fàcil d’explicar. Jo mateix, aquest matí, estava esmorzant, prenent un cafè, i pensava: “Tu ara aniràs allà a veure aquesta pobra gent i els explicaràs que les matemàtiques són un plaer infinit i et miraran estrany. Et diran: “Aquest boig què diu?”. I jo pensava: “Com els convenço? És a dir, quin exemple em puc muntar? Què em puc inventar jo aquí per explicar-los, com a mínim, què vull dir quan dic que les matemàtiques són un plaer infinit?”. No sabia què fer i, de sobte, em quedo mirant la taula, on tenia totes les coses de l’esmorzar, i ho he vist allà. Ho he vist claríssim. Dic: “Com no ho he vist abans? Si tinc aquí un objecte terriblement matemàtic. Com no se m’ha acudit abans que aquest és l’exemple perfecte per parlar del plaer de les matemàtiques?”. Què penseu que he vist? Un tovalló. Obvi, oi? És a dir, se us acudeix un objecte més matemàtic que un tovalló? Una cosa que il·lustri millor l’infinit plaer de les matemàtiques? Perquè, és clar, algú que tingui mirada matemàtica, es queda observant-la i què veu? Un quadrat, no? Un quadrat. Jo aquí no veig tovallons, esmorzar… No, veig un quadrat. Però, espereu, perquè, a més, si ara agafo el tovalló i l’obro, em surt… Sorpresa! Un altre quadrat. Oh!

És a dir, que resulta que, si agafo un quadrat i el doblego dos cops, em surt un altre quadrat. Meravellós, oi? Però, aleshores, m’he començat a preguntar… Dic: “I és l’única possibilitat? Només em sortiran quadrats? Quines altres figures puc obtenir si doblego un tovalló quadrat? Hi ha algun patró?”. Aquí ja m’he començat a accelerar, he començat a fer experiments, he començat a provar i, bé, he acabat amb la taula plena de tovallons doblegats. Aleshores, ara, m’agradaria compartir amb vosaltres algunes de les coses que he descobert perquè, sí, les matemàtiques són, sobretot, experimentació, descobriment, hipòtesi. Crec, crec, que teniu cadascun i cadascuna de vosaltres un tovalló al vostre seient. Si el voleu agafar ara, el podeu desplegar i veurem ara… El problema que us plantejo és estudiar, analitzar, quantes formes diferents podem obtenir segons les vegades que dobleguem un tovalló. I les condicions són molt precises: doblegarem el tovalló sempre de manera que una meitat quedi completament superposada a l’altra. És a dir, no farem doblecs així irregulars ni doblegar tres vegades. És a dir, doblegar una vegada significa doblegar així, per exemple. Aleshores, aquí veiem que, si jo doblego una vegada el tovalló, què em pot sortir? Un rectangle. Perfecte. Jo ja tinc el meu rectangle. Però, i si agafo un tovalló que està totalment obert i el doblego una vegada, tinc alguna altra manera de doblegar el tovalló sobre si mateix perquè em quedi una forma diferent?

Público. Sí.

Alessandro Maccarrone. Sí que en tinc, no? Què puc fer? Exacte. Aquí, el que acabo de veure és que el quadrat té més d’un eix de simetria. Té un eix de simetria paral·lel als costats i té un eix de simetria que és la seva diagonal. I aquí em queda un meravellós triangle rectangle. Bé, a partir d’aquestes dues formes, jo ja em puc començar a fer altres preguntes. Per exemple, les dues figures, el rectangle i el… Perdó, no us ho he preguntat abans, hi ha cap altra manera de poder-ne obtenir? Si hi doneu moltes voltes, veureu que no hi ha més possibilitats. Em pot quedar el rectangle en horitzontal o en vertical, però la forma és la mateixa. Només tinc aquestes dues possibilitats en fer un plec. Bé, l’àrea. Ocupen la mateixa àrea aquestes dues figures? Sí? No? Depèn? Comodí del públic? Bé, doncs sí que ocupen la mateixa àrea. Per què? Perquè jo he agafat el quadrat i el que he fet és superposar la meitat de l’àrea sobre l’altra meitat. Però, si algú continua amb dubtes, les puc posar l’una sobre l’altra i veig perfectament que, si retallo aquesta part que em sobra aquí del triangle i la col·loco aquí, faig aquí un retalla i enganxa, em queda exactament el mateix rectangle. Per això diem que ocupen la mateixa àrea. I, si ocupen la mateixa àrea, tenen el mateix perímetre? Ah! Sí? No? Depèn? Comprovem-ho. Suposem que el quadrat, el costat del quadrat, era u, mesura u. Per tant, el perímetre era quatre. U, dos, tres, quatre. Aleshores, aquest rectangle quin perímetre té? Quant mesura el seu perímetre? Doncs en tinc un per aquí, un per aquí, mig i mig. Té un perímetre de tres unitats el rectangle. I el triangle, en canvi, en té un per aquí, dos per aquí, i això n’és un?

Si això n’és un i això també, això en pot ser un? No, això és més llarg que u. Per tant, tenen el mateix perímetre? No tenen el mateix perímetre. Aquest és més llarg. Per tant, aquí ja veig coses interessants. Àrea i perímetre són coses diferents. Cadascuna va pel seu compte. No han d’anar juntes. Bé, jo aquí ja tenia el meu primer pas. Jo he fet un plec. D’acord, doncs ara no ens quedem aquí. A veure què passa ara si faig dos plecs, si faig un segon plec. Aleshores, per fer el segon plec, he de seguir tots els camins que se m’han obert, el camí del rectangle i el camí del triangle. Comencem amb el triangle, que el tinc a la mà. El triangle el puc doblegar d’alguna manera perquè em quedi una meitat sobre si mateixa? Sí, el triangle té un eix de simetria, que és aquesta alçada d’aquí, i jo el puc doblegar i em quedarà… Bé, de fet, guardaré aquest, perquè així els guardo, i n’agafo un altre, formaré el meu triangle, i aquest triangle el doblegaré dos cops. És a dir, em queda el triangle per aquí i un altre triangle per aquí, per tant, jo aquí ja tinc una forma obtinguda fent dos plecs al meu quadrat original. Doncs em guardo aquí el triangle. Què més puc fer? El triangle, veieu alguna altra manera…? Aquest triangle gran se us acudeix alguna altra manera de poder-lo doblegar per la meitat? No té més eixos de simetria. Podem usar aquí també llenguatge matemàtic. Doncs el triangle ja el tenim. Aleshores, ara vaig una altra vegada al rectangle. Aleshores, aquest rectangle que tinc aquí, el rectangle d’un plec, de quantes maneres el puc doblegar? Una, l’estàndard, la que ve al paquet dels tovallons. Què puc fer? Doncs doblegar-lo a través d’aquest eix de simetria, i què em queda? Em queda el tovalló quadrat del principi que jo tenia sobre la taula quan esmorzava. Doncs ja tinc aquí una altra forma, el quadrat. Però el rectangle el puc doblegar d’alguna altra manera de manera que coincideixin les meitats?

Com el puc doblegar? Longitudinalment. És a dir, el rectangle té dos eixos de simetria que no són equivalents, per tant, aquí em queda un altre rectangle més allargat i ja tinc una tercera figura. Recordeu que tenim el triangle que he obtingut doblegant l’altre triangle, el quadrat que he obtingut doblegant el rectangle per un dels seus costats o per una de les direccions i l’altre rectangle més allargat. No sé si ho heu provat, però no hi ha més opcions. Ja no tinc més possibilitats. D’acord, doncs ara és quan la cosa comença a prendre forma, perquè fixeu-vos què tenim aquí. Tenim que, inicialment, jo tinc una figura. Zero plecs, quantes figures? Una. La doblego una vegada i quantes figures em surten? Dues. La doblego dues vegades i em surten tres figures. No, el patró és claríssim, ens està avisant. És a dir, si ara la doblego una tercera vegada, quantes figures ens sortiran? Ens en sortiran quatre. Bé, ens en sortiran quatre… Aquesta és la nostra hipòtesi. Però, fixeu-vos-hi, estem buscant un patró. Jo he observat, he experimentat, he observat el que em sortia i he detectat un patró. I ara acabem de formular tots junts aquí una conjectura. A veure si aquesta conjectura és certa o no, perquè les conjectures poden després complir-se o no complir-se. Aleshores, agafaré totes les figures que m’han sortit en doblegar-les dos cops i miraré de quantes maneres les podem doblegar. A veure. Si ara tinc aquest triangle, aquest triangle el puc doblegar sobre si mateix perquè em quedi la meitat? Sí, ja ho hem vist, aquests triangles sempre funcionen de la mateixa manera, són una mica avorrits. Com el puc doblegar? Així, no? Em quedarà un triangle. Sí? Un triangle més petit. Doncs ja tinc aquí una figura. D’acord, ara anem al rectangle. Aquest rectangle d’aquí. De quantes maneres el puc doblegar? El puc doblegar de dues maneres. El puc doblegar així i em queda un rectangle menys allargat, més proporcionat, sí? Me’l guardo aquí.

I també jugaré amb aquest. Recordeu que ara el punt de partida era aquest rectangle d’aquí, el dels dos plecs, el rectangle allargat. Ara l’acabem de doblegar així, però també el podem doblegar d’una altra manera, no? Igual que abans. El podem doblegar així, longitudinalment. Ens queda aquí una cosa que cada vegada és més allargada i cada vegada s’assembla menys a un rectangle. Però, bé, les matemàtiques tenen això de bo, que ens podem imaginar el que ens doni la gana. Això és un rectangle, l’idealitzarem, i és un rectangle allargat. Ja tinc tres figures: ja tinc el triangle petit, tinc aquest rectangle més proporcionat i el rectangle allargat. Però encara em queda una figura que puc doblegar. Aquesta era la dels dos plecs. Què passarà ara? En seran quatre? En seran més de quatre? Perquè aquí me n’han sortit dos. En seran menys? Doncs mirem què passa. Com puc doblegar jo aquest quadrat? El puc doblegar així i em surt un rectangle. Però no us resulta familiar? Aquest rectangle i aquest rectangle són el mateix. Hi hem arribat per camins diferents, fent plecs diferents, però són el mateix rectangle. Per tant, aquesta no em serveix, aquesta la descarto, aquesta no l’accepto. I si ara… De quina altra manera puc doblegar el quadrat? Així, no? Ah, ja tinc una altra figura. I aquesta em serveix? Fixeu-vos que és el mateix triangle que hem obtingut de l’altra manera. Puc doblegar el quadrat d’alguna altra manera? Per tant, quantes figures tinc si el doblego tres vegades? Tres una altra vegada. És a dir, ho vèiem claríssim. Vèiem un patró allà que s’havia de complir. Però no s’ha complit. No ha funcionat aquest patró. I no passa res, perquè a vegades la intuïció ens enganya en matemàtiques. Bé, jo ara podria continuar fent… Ara, aleshores, quan he vist això, aquí és on se m’ha disparat la curiositat.

Dic: “I què passa si faig un quart…?”. No us faré fer el quart plec perquè, a part, ja gairebé no es podria ni doblegar. Això és també la grandesa de les matemàtiques. Un paper es pot doblegar fins a un cert punt, després ja no dona més de si, però, matemàticament, tu pots pensar tots els plecs que et doni la gana perquè no hi ha límits físics. Aleshores, a partir d’aquí, m’he posat a pensar: “Si el doblego quatre vegades, en tornaran a ser tres? A partir d’ara, són sempre tres formes? Augmenten? Tornen a augmentar cada dues vegades? Què passa amb el perímetre? Què passa amb l’àrea?”. Mil preguntes. Infinites preguntes. Aleshores, per a mi, aquest és un exemple del que pots arribar a fer o el que pot arribar a produir un infinit plaer en fer matemàtiques. El plaer simplement de fer-te preguntes, d’investigar amb qualsevol cosa quotidiana que tinguis al teu abast, de formular hipòtesis, de dir: “Ara comprovaré si això és cert o no”, de veure que no és així i, aleshores, animar-te més i dir: “Vull entendre per què no és així”, de seguir investigant més i més. Però, mentre jo estava amb això… Com us he dit, tenia tota la taula plena de tovallons doblegats d’una manera o d’una altra, etcètera. Aleshores, m’he quedat… La gent passava per allà, em mirava d’una manera estranya, “Què fa aquest amb tots els tovallons aquí?”. Però, aleshores, m’he quedat mirant els tovallons una altra vegada i m’he adonat que aquí hi havia encara molt més material matemàtic del que jo m’havia imaginat. Perquè dic: “Sandro, tu ara estàs aquí explicant formes, doblegant, mirant quantes formes diferents et surten”. Però també podria observar una altra propietat, podria observar una altra cosa. Jo, en lloc de comptar formes, podria comptar capes. Jo puc comptar quantes capes té el meu tovalló segons quantes vegades l’he doblegat. És a dir, si jo ara desplego una altra vegada del tot el meu pobre tovalló, això és una capa de paper. Només tinc una capa.

Si el doblego una altra vegada, quantes capes té ara el paper? Dues. Si el torno a doblegar, quantes capes tindrà el paper? Quatre. I si el torno a doblegar? No em cal ni fer-ho. Quantes em donarà el següent? Vuit. És a dir, aquí sí que veig un patró força clar i puc confiar en ell. Estic veient que el nombre de capes es multiplica cada vegada per dos. Molt bé. I això em permet, entre altres coses… Quan jo identifico un patró, tinc el meu tovalló controlat. Perquè si ara, sense doblegar-lo, sense fer res, us pregunto: “I amb quatre? I si el doblego una altra vegada, quatre vegades, quantes capes hi ha?”. Em direu: “16”. I si us dic: “I si el doblego 12 vegades?”. Bé, doncs em puc posar… No em posaré a doblegar-lo 12 vegades. Segurament, no puc, no em dona més de si el paper. Em puc posar a multiplicar dos per dos per dos. Segur que em descompto, em deixo algun dos. Aleshores, quan tenim un patró, en general sempre és una bona idea posar en ordre la informació que tenim i entendre bé com funciona aquest patró. Aleshores, el que veiem aquí és que… Què hem vist? Que, quan jo feia un plec, quantes capes tenia el tovalló? Tenia dues capes. Quan feia dos plecs, passava a tenir quatre capes, que eren… Per què em sortien quatre capes? Doncs perquè, en superposar-les, es doblega, es duplica. Per tant, és dos per dos. En fer tres plecs, què em sortia aquí? Quantes capes hi havia? Vuit, que és dos per dos per dos. És clar, això d’escriure “dos per dos per dos” ja sabeu que és una mica tediós, però tot això sabem que ho podem condensar. Per a això ens serveixen les potències. Això ho podem expressar en forma de potències. Aleshores, dos per dos és el mateix que dos a la dos, dos per dos per dos és dos a la tres. Fixeu-vos-hi: dos plecs, dos a la dos. Tres plecs, dos a la tres. Si jo tinc… Aleshores, amb quatre, directament ja no escriuré aquí… Ho escric com a potència. Això em donarà dos elevat a quatre, que és precisament 16.

I, aleshores, si jo vull saber, amb 12 plecs, quantes capes té el tovalló, no cal que em posi a multiplicar dos per dos per dos, ja tinc la meva fórmula directa. Jo ja sé que el que he de fer aquí és elevar dos a 12 i, si ho feu, això us donarà segurament 4.096 capes. Imagineu-vos un tovalló de 4.096 capes. Molt bé. Bé, doncs ja està. Jo tinc un patró. Els patrons són útils perquè ens permeten fer prediccions, ens permeten anticipar el que passarà. Però, a vegades, el més interessant no passa quan anem endavant, sinó quan anem enrere. Per què? Perquè jo ara he vist que aquest patró em funciona aquí: dos a la dos, dos a la tres, dos a la quatre. Però què passa si vaig cap a dalt? Per exemple, quan faig un plec, segons… El que acabo de veure, en certa manera, és que, si jo tinc n plecs, tindré dos a la n capes. Doncs, si el nombre de plecs és un, quant hauria de ser això aplicant aquest patró, aquesta fórmula que tenim aquí? Doncs hauria de ser dos elevat a u. Hi esteu d’acord? Tots sabem que un nombre elevat a u és el mateix nombre. Molt bé, però farem un pas més enrere, és a dir, anirem a zero plecs, que us recordo que zero plecs és això d’aquí, sí? Doncs si jo tinc zero plecs, aleshores, segons la meva fórmula, quantes capes hauria de tenir el tovalló? Doncs ha de tenir dos elevat a zero. Ja sé que tots sabeu i totes sabeu que qualsevol nombre elevat a zero és igual a alguna cosa, però suposem que això no ho sabem i observem, simplement, què ens queda aquí. Quan faig zero plecs, desapareix el tovalló? Hi ha zero tovallons? Quants tovallons hi ha? Quantes capes hi ha?

Hi ha una capa, no zero, és a dir, que dos a la zero el més natural és considerar que és igual a u, que és el que hem après sempre, que qualsevol nombre elevat a zero és igual a u. Però aquí no només estem aprenent una regla, sinó que l’estem veient, estem veient que és el que té més sentit del món, perquè, quan desplego del tot el tovalló, no em desapareix el tovalló, continuo tenint una capa i, per això, dos elevat a zero és u. Doncs, mireu, per a mi, aquest és un segon exemple, una segona manera d’entendre el plaer de les matemàtiques, el plaer d’entendre, el plaer de visualitzar, de donar sentit a conceptes complicats que, d’una altra manera, no entendríem en absolut. És a dir, per a mi, quan us parlo de l’infinit plaer de les matemàtiques, té a veure amb aquestes dues coses: buscar, investigar, indagar, experimentar i entendre, comprendre, donar sentit.

Erica. Hola, em dic Erica. Estudio el batxillerat científic i m’agradaria preguntar-te per què, com que avui dia tenim tants tipus de calculadores i tan a mà, com pot ser al mòbil, que el portem tots, hauríem d’aprendre a fer càlcul d’operacions.

Alessandro Maccarrone. Molt bé, Erica. Doncs moltes gràcies, la veritat és que aquesta és una pregunta que es fa molta gent i jo crec que no ens ha de fer por fer-nos-la perquè és cert, és una realitat que vivim cada dia. Abans de respondre a la pregunta en si, deixeu-me que us expliqui una petita història molt simple que em va passar fa uns anys. Aleshores, treballava en una empresa editorial, treballava com a autor, com a redactor, i un dia, un dels comercials em va demanar si, si us plau, el podria acompanyar a una reunió que tenia en un institut. I, com que les oficines de l’empresa estaven fora de Barcelona, anàvem en cotxe, cadascú anava en el seu cotxe. Aleshores, vam quedar que jo el seguiria. D’entrada, ell ja va agafar un camí que jo vaig pensar: “Que estrany”, però dic: “Ell està més acostumat a moure’s per Barcelona durant el dia, potser sap on hi ha més embussos, etcètera. Deu conèixer un camí més ràpid. Res a dir”. I, res, vam seguir, anàvem per la Ronda de Barcelona, seguíem i, quan ja s’estava acabant, dic: “Bé, ara girarà a la dreta perquè allà és el centre de la ciutat”, que és on era l’institut. I veig que posa l’intermitent cap a l’esquerra i agafa la carretera en direcció a Girona. Aleshores, aquí ja no vaig poder més. Li vaig trucar i li dic: “Però que no veus que anem en direcció contrària?”. Diu: “Sí, sí, sí, ja ho veig, però el GPS m’envia per aquí”. És clar, què passava? Doncs que el GPS havia comès un error o ell havia posat malament la direcció. Però, en lloc de qüestionar-s’ho, el tio seguia. Si no li arribo a trucar, encara estaríem a la carretera buscant l’institut. Què us vull dir amb això? Que, en general, jo crec que hem de tenir una actitud crítica amb l’ús de la tecnologia, sempre. És a dir, mantenir… Diguem-ne que no em sembla una bona idea donar carta blanca a l’ús de la tecnologia.

Hauríem de mantenir sempre una parcel·la d’autonomia, i més en aquests temps en què es parla tant sobre la neutralitat dels algoritmes, sobre els efectes de la tecnologia a nivell cognitiu, sobre la privacitat, etcètera. Aleshores, sempre, una postura cauta. Dit això, és obvi que el fet que tots tinguem una calculadora al mòbil, a la butxaca, ens obliga segurament a replantejar quines han de ser les prioritats a l’hora d’aprendre el càlcul. Té poc de sentit avui dia dedicar-nos hores i hores a fer multiplicacions amb nombres de deu xifres en columna repetidament. Per a què? Si no farem mai multiplicacions així, les farem amb la calculadora i, sobretot, fer multiplicacions així de llargues no ens aporta gaire cosa a nivell de comprensió matemàtica. És molt més interessant desenvolupar diferents tipus d’estratègies de càlcul i saber quina escollir a cada moment. Per exemple, us proposo una resta, una resta ben senzilla, una resta que és la següent. Restaré a un número rodó, el 10.000, un número ple de zeros, li restaré un número que no tingui zeros. Jo què sé. D’acord. Doncs, bé, no passa res, és una resta, tots la podríem fer a mà. Però, és clar, aquí començo a tenir problemes perquè n’he de portar, perquè, és clar, al zero no li puc restar l’u, n’he de demanar, però el zero del costat tampoc en té, el zero del costat tampoc en té, i em començo a embolicar. Bé, doncs ho podria fer així i, aleshores, perfecte, faig un entrenament de resta portant-ne. Cap problema. Però, en lloc de fer això, puc fer vàlida aquella frase d’“a poc a poc i bona lletra”, que és: dissenyem una petita estratègia, a veure què convé fer aquí.

I, aleshores, puc pensar que restar, en realitat, és com calcular la distància entre dos valors. Jo vull saber com de lluny està el 10.000 d’aquest altre número d’aquí. I la distància entre dos valors no canvia si jo desplaço aquests valors una unitat, si disminueixo en una unitat això i disminueixo en una unitat aquest altre d’aquí, la resta, el resultat, la diferència em donarà el mateix. I, si jo faig això, li resto un u al terme de dalt i li resto un u al terme de baix, el resultat serà el mateix. Però, fixeu-vos si no és molt més amable aquesta resta d’aquí. Per què? Perquè restar del nou és molt més senzill. Ara faré nou menys zero, nou. Nou menys nou, zero. Nou menys dos, set, i nou menys set, dos. És tan senzilla que m’he atrevit a fer-la aquí en directe sense por d’equivocar-me. El resultat d’aquesta resta és exactament el mateix, no hi ha cap canvi, però només dedicant un segon a dissenyar una estratègia, es fa molt més senzill el càlcul. No em cal ni… He trigat menys que anant a buscar el mòbil, obrint la calculadora i fent l’operació, d’acord? I, a més, d’aquesta manera, estic utilitzant propietats de les operacions, relacions entre els nombres. Vull dir amb això que no cal aprendre els mètodes, els algoritmes, tradicionals de càlcul? No, no dic això. El que dic és que no ha de ser necessàriament l’únic ni el primer que s’aprengui a l’hora d’aprendre a calcular. Què més cal aprendre, aleshores? Quines altres habilitats de càlcul fan falta? Doncs, bé, el primer és aprendre a utilitzar la calculadora, que sabeu que no sempre és fàcil. Cal saber com s’introdueixen les operacions, la jerarquia de les operacions, diferents models de calculadores. Aleshores, cal aprendre també a utilitzar la calculadora. I també hi ha matemàtiques allà. A més d’això, cal saber fer càlcul mental, però no només perquè no m’enganyin quan em donin el canvi o no s’equivoquin en donar-me el canvi, sinó perquè el càlcul mental ens obliga a entendre millor les operacions, a trobar relacions. “Ah, multiplicar per cinc és el mateix que multiplicar per deu i dividir entre dos”. Bé, doncs hi ha matemàtiques aquí. Aquí sí que estem desenvolupant un sentit numèric.

I, a més de fer càlcul mental, també cal saber fer aproximacions. Sempre tenim aquesta idea que les matemàtiques són una disciplina precisa, exacta, sense errors. No, en les matemàtiques també hi ha tota una part que té a veure amb com aproximar, com fer estimacions. Per fer estimacions, hi ha un tipus de problemes que em semblen molt divertits, molt interessants, que són els problemes de Fermi. N’heu sentit a parlar alguna vegada? Els problemes de Fermi s’anomenen així perquè els va popularitzar un físic italià, Enrico Fermi, que tenia molta facilitat per fer estimacions. El més famós de tots diu el següent: “Quants afinadors de piano hi ha a Chicago?”. Punt. Cap dada, cap informació extra. Recordo perfectament que el primer dia de la carrera, és a dir, el meu primer dia d’universitat, quan vaig anar a la Facultat de Física, assegut allà amb els professors parlant-nos de les assignatures, ens reparteixen el dossier d’exercicis, de problemes, i el primer enunciat era aquest. “Quants afinadors de piano hi ha a Chicago?”. És clar, ens vam mirar tots estranyats dient: “I on hi ha les dades? I la informació? I tot el que necessito saber per fer aquest càlcul on és?”. És a dir, el problema és, precisament, deduir tu les dades a partir de la teva intuïció i del teu coneixement. No només deduir les dades, sinó deduir quines dades necessitaràs. És a dir, jo aquí què necessito per fer aquest càlcul? Bé, doncs, en el cas dels afinadors de piano, què em farà falta, segurament? Em farà falta saber quants habitants hi ha a Chicago, no? I m’imaginaré alguna cosa, no ho sé, tres milions, cinc milions. I, a partir d’aquí, aleshores, què puc pensar? Doncs puc pensar quanta gent del meu voltant té piano, per saber una mica quants pianos hi pot haver en una certa població. Cada quant cal afinar un piano. Quants pianos pot afinar cada dia una persona. Aniré fent un raonament i arribaré a un valor, un valor que no serà exacte, però aquí el que importa no és si n’hi ha 40, 45 o 71,5.

Es tracta d’arribar a un valor que tingui sentit. És a dir, el que ens interessa aquí és: parlem de desenes, de centenes o de milers? És a dir, el que es diu l’“ordre de magnitud”, per tenir-ne una idea intuïtiva. Perquè aquesta és una altra cosa important també: quan arribem al resultat d’un problema, tant si és de Fermi com si no és de Fermi, després li hem d’intentar donar sentit, i això també és una habilitat de càlcul, és a dir, interpretar aquest nombre i donar-li un sentit, a veure si això és gran, és petit… Perquè, sobretot, amb nombres grans és molt fàcil perdre’ns. Aleshores, aquí hi ha un divulgador de les matemàtiques, que és John Allen Paulos, que té un llibre que es titula ‘L’home anumèric’, i en aquest llibre recomana que tots busquem quantitats de referència, objectes de referència, per tenir una idea de quant són determinades quantitats. És a dir, per exemple, a mi, per pensar en mil, em ve al cap ‘El Senyor dels Anells’. El llibre d’‘El Senyor dels Anells’, que té mil pàgines i escaig. No n’han de ser mil exactes. Doncs mil i escaig. Doncs, d’acord, per a mi, mil són les pàgines del llibre d’‘El Senyor dels Anells’. Cent mil. Doncs cent mil són més o menys els espectadors que caben al Camp Nou, a l’estadi del Futbol Club Barcelona. I, així, un va agafant quantitats de referència. Tot això, és a dir, el càlcul mental, les estimacions… És a dir, tenir una idea intuïtiva de si això és gran, és petit, si té sentit aquesta quantitat… Tot això és superimportant no només per a qüestions pràctiques, sinó, precisament, per gestionar la informació que rebem, perquè, quan jo sento una notícia o algú m’està explicant alguna història i em diu un nombre o surt un percentatge, jo digui: “Té sentit o no té sentit? Quadra o no quadra? És gran o no és gran?”. És clar, que jo puc agafar i treure la calculadora i dir: “Espera un moment, que comprovaré si la dada que m’has dit ara és gran, és petita, ho comprovaré”. Però és poc operatiu, oi? O quan estàs mirant les notícies. Ja han canviat a una altra notícia.

És clar, també dic que aquesta és la resposta que donem avui dia amb la realitat actual de la tecnologia. És diferent la resposta del que es feia amb el càlcul fa 100 anys i és diferent, segurament, del que farem quan passin 100 anys més. És clar, potser, en un futur, de sobte, tots tindrem implantat al cervell un xip que vagi fent càlculs en temps real. Aleshores, ja no ens caldrà. No cal calcular perquè jo ja vaig processant. També cal veure quins efectes inquietants o terribles, quins efectes secundaris, podria tenir una cosa així. De fet, podria ser la trama, l’argument, d’un episodi de ‘Black Mirror’, de la sèrie ‘Black Mirror’. Bé, de fet, ja que som aquí, em dirigiré a Charlie Brooker, que és el director de la sèrie ‘Black Mirror’. Et diré: “Charlie, si ens estàs mirant, aquí tens un guió magnífic per al pròxim episodi de ‘Black Mirror’. Tot teu”.

Carolina. Hola, Alessandro. Soc la Carolina. I, parlant de nombres i de matemàtiques, ens podries parlar de com van sorgir els nombres a la història?

Alessandro Maccarrone. Hola, Carolina, moltes gràcies per la teva pregunta. I, bé, realment, comptar és una cosa que els humans fem des de fa desenes de milers d’anys. Hi ha un os famós, que es coneix com l’os d’Ishango, que es considera que és el primer testimoni de la capacitat humana de comptar. És un os que es calcula que té uns 20.000 anys, que es va trobar a l’actual República Democràtica del Congo. Té poc més de deu centímetres i el que té són una sèrie d’osques, de marques gravades, que han fet pensar que servien per comptar alguna cosa. Inclús hi ha una hipòtesi que aquestes marques el que comptaven eren els dies del cicle menstrual, per tant, les primeres persones matemàtiques haurien estat dones. I què passa quan comencem a comptar? Doncs que, quan comencem a comptar, el que volem fer… O ens sorgeix el problema de com enregistrem el que estem comptant, és a dir, com ho guardem, com ho representem per poder-ho recordar després, per poder-ho dir a algú més. Penseu en vosaltres quan aneu a un bar a demanar i en sou molts i voleu demanar. Com comenceu a comptar? Doncs diem: “A veure, quatre de braves”. Quatre de braves. Sí? Fem palets com a l’os d’Ishango. Després, diem: “Tres de croquetes”. Doncs tres de croquetes. És clar, després, quan arriba la beguda, diem: “Set aigües”. Aleshores, fem u, dos, tres, quatre… És clar que puc fer set pals. Però, normalment, què fem? Fem així. I això per què? Perquè en són cinc. I després n’afegim dos més. Amb això què fem?

Facilitem la vida al cambrer perquè, quan ho llegeixi, no s’haurà de posar a comptar, sinó que ho veurà directament: cinc i dos, set. Ho sumarà i ja sap que en són set. Doncs aquesta idea tan senzilla és la idea que explica com funcionen tots els primers sistemes de numeració que hi va haver en diferents cultures. Com funcionen aquests sistemes? S’usen diferents símbols per a algunes quantitats de referència: un símbol per a l’u, un símbol per al cinc, un per al deu, un per al cent. Aleshores, per escriure un nombre, el que fem és unir aquests símbols, oi? El sistema romà el coneixeu tots. Si jo poso això, dic que aquest és el símbol deu i deu, 20, més dos, 22. L’únic que faig és posar tants símbols com necessiti de cada tipus i sumar-los. Per això s’anomenen sistemes sumatius. Aleshores, el sistema egipci era un sistema sumatiu. En canvi, sabeu que el nostre no és un sistema sumatiu. El sistema grec també, l’antic. El sistema romà també, encara que ja té algunes regles una mica més complexes, però, bé, continua sent un sistema sumatiu. El nostre és un sistema de numeració posicional. Per què? Perquè el valor de cada símbol no és sempre el mateix, sinó que depèn de la posició que ocupa quan escrivim el nombre. Si escric set, set, set, set, el valor de tots aquests sets no és el mateix. És el mateix símbol, però té valors diferents perquè es troba en posicions diferents. Aquest valor set, setanta-set i set mil. I el nostre no és l’únic sistema posicional, sinó que, per exemple, el sistema dels antics maies també era un sistema posicional. L’únic és que, en lloc de ser en base deu, era en base 20. Bé, com veieu, aquí tenim diferents sistemes de numeració. Però fixeu-vos que, en realitat, són això, són diferents sistemes de numeració, no són nombres diferents, són maneres diferents de representar els mateixos nombres.

Sempre són els mateixos nombres, que són els nombres naturals, que són els que serveixen per comptar, per ordenar. L’u, el dos, el tres, el quatre. És clar, els nombres naturals són els primers que han sorgit històricament, perquè comptar és una de les primeres necessitats que tenim. Però, a mesura que va passant la història i sorgeixen necessitats més complexes, també sorgeix la necessitat d’introduir altres tipus de nombres. Per exemple, jo de sobte tinc aquí… Suposem que tinc pilotes de bàsquet i pilotes de futbol, i que vull saber quina relació hi ha entre els pesos d’aquestes pilotes. Aleshores, agafo les pilotes de futbol i les de bàsquet i les poso en una balança. Agafo la balança i aquí poso les dues pilotes. Resulta que, quan en poso aquí dues de bàsquet i en poso aquí tres de futbol, F i B, la balança se m’equilibra. Bé, doncs jo veig això. Estic fent una mesura, estic comparant quantitats i dic: “D’acord, doncs això…”. D’entrada, què veig? Que la de bàsquet pesa més que la de futbol. Hi estem d’acord? Per què pesa més? Perquè, amb dos, n’equilibro tres. Correcte? Molt bé, això ho veig. Però, aleshores, aquí vull ser més precís i vull saber a quantes pilotes de futbol equival una de bàsquet. Una de bàsquet pesa el doble que una de futbol? Pesa el triple? Ja veig que no pesa ni el doble ni el triple. Per què? Perquè… Menys que dos, però més que u. Bé, aleshores, què veig aquí? El que veig és que dues pilotes de bàsquet equivalen a tres pilotes de futbol. Això és el que veig aquí, sí? I, per tant, una pilota de bàsquet a quantes pilotes de futbol equival? U i mig, u coma cinc. Com ho veig? Perquè, si dues pilotes equivalen a tres de futbol, la meitat de les pilotes de bàsquet equivalen a la meitat de les pilotes de futbol. I aquí, sense adonar-me’n, acaben d’aparèixer els nombres no enters. Òbviament, en el seu moment no van aparèixer amb pilotes de futbol i de bàsquet, devien ser altres objectes, però és a partir de la necessitat de mesurar com apareixen els nombres no enters, els nombres que es poden expressar com el quocient, la raó, entre dos nombres enters, en aquest cas el tres i el dos. Tres mitjos, que és el mateix que u coma cinc o u i mig, com dèieu vosaltres. Bé, doncs aquests nombres formen, junt amb els enters, els nombres racionals, perquè es poden expressar com una raó entre nombres enters. Però és que, si jo ho continuo mesurant, arribarà un dia en què m’interessarà mesurar, per exemple, quant fa la circumferència d’un cercle, quant fa la longitud d’una circumferència de radi u.

O quant mesura la diagonal d’un quadrat de costat u. És normal, jo puc tenir un camp quadrat i vull mesurar la diagonal. Molt bé. I, aleshores, en fer-ho, de sobte em trobaré amb un nombre al qual anomenaré el “nombre pi” o amb un nombre que anomenaré “arrel de dos”, i descobriré que aquests nombres no es poden expressar com el quocient de dos nombres enters. Per tant, no són nombres racionals i haurem descobert aquí els nombres irracionals. Ens han sorgit de les necessitats, que es van fent cada vegada més complexes i, a mesura que aquestes necessitats es van fent més i més complexes, arribarà un moment en què hauré de mesurar coses o treballar amb quantitats que poden créixer en dos sentits: cap a dalt o cap a baix, cap a la riquesa o cap a la pobresa, cap a la calor o cap al fred. Aleshores, necessitaré introduir també nombres negatius, que són el reflex dels nombres positius. Aleshores, com veieu, amb el pas del temps, a mesura que les necessitats es van fent més complexes, no només els sistemes de numeració van evolucionant, sinó el mateix concepte de nombre. I això penseu que no és una cosa gens fàcil. A vegades, és inclús traumàtica. Mireu, l’antiga escola pitagòrica, els pitagòrics, que eren una escola de filòsofs de l’antiga Grècia, creien, tenien la convicció que tota la realitat es podia explicar a partir dels nombres racionals, que tot es podia mesurar i expressar com el quocient de dos nombres enters. I, aleshores, un dia, un cert Hipas de Metapont, que era un membre d’aquest grup pitagòric, va topar amb l’arrel de dos. És a dir, va descobrir que hi havia nombres que no es podien expressar com el quocient de dos nombres enters.

És clar, això, imagineu-vos-ho, per a aquest grup, que els nombres racionals eren la base de tota l’existència, dir que hi havia coses més enllà, nombres i quantitats més enllà d’això, era com negar l’existència de Déu, era una heretgia. Però tampoc podien negar l’evidència, perquè allà tenien la demostració. Aleshores, què van fer? Un pacte de silenci. “Aquí ningú sabrà res. Això es quedarà aquí i ningú explicarà res fora d’aquí”. Però Hipas de Metapont, que estava orgullós del seu descobriment, ho va explicar, ho va divulgar. I, quan els pitagòrics se’n van assabentar, el van expulsar del grup i van construir una tomba amb el seu nom per si no havia quedat clar com estaven d’enfadats. Inclús hi ha una llegenda que diu que va ser el mateix Pitàgores qui va llançar per la borda el pobre Hipas de Metapont en una travessa en vaixell. Aquí ja estem amb les llegendes urbanes. Però, bé, tot això és per dir-vos que, moltes vegades, quan pensem en els nombres, donem per fetes moltes coses i, en canvi, hi ha molta complexitat darrere del mateix concepte de número. Aleshores, si ens fem una mica més conscients d’aquesta complexitat, segurament els començarem a valorar, a apreciar, com el que són, que és part del patrimoni cultural de tota la humanitat.

Cecilia. Hola, Alessandro. Em dic Cecilia, soc educadora en processos creatius. Tu ets físic i matemàtic. Jo soc educadora i, amb els meus alumnes, parlo sobre històries de les estrelles. M’agradaria que ens expliquessis com mesurar la distància a una estrella.

Alessandro Maccarrone. Doncs moltes gràcies, Cecilia. És una pregunta molt bona i us he de reconèixer que és una pregunta que jo no em vaig fer de debò fins molt després de tenir ja els coneixements per poder-la respondre. Després d’haver acabat la carrera, me la vaig fer perquè uns alumnes em van insistir que volien entendre com es mesura la distància a les estrelles. I és que, realment, és una cosa que xoca, que ens costa entendre, perquè, és clar, nosaltres tenim una idea molt directa de les mesures. Nosaltres, quan volem mesurar una barra, agafem el regle i el posem a sobre. Quan volem pesar un objecte, agafem l’objecte i el posem sobre la balança. Quan volem mesurar la nostra temperatura, ens posem el termòmetre a la boca, no? Aleshores, realment, amb les estrelles es pot fer una cosa així? Jo puc anar a una estrella i prendre mesures? Si algú té dubtes sobre quina és la resposta a aquesta pregunta, només cal que investigueu quin és el punt més allunyat de la Terra al qual ha arribat alguna vegada l’ésser humà. Què penseu? Fins on hem arribat? Quin és el lloc més llunyà? La Lluna, Mart, el Sol, una altra galàxia? Doncs, mireu, el punt més allunyat de la Terra, el rècord actual, són uns 400 mil quilòmetres. Tingueu en compte que la Lluna està a 384 mil quilòmetres. Per tant, és poc més. És, res, a la Lluna. I arriben allà els integrants de la missió Apollo 13, els de la pel·lícula, els de “Houston, tenim un problema”, que, després de tenir l’accident, van haver de tornar i, per tornar, van fer una maniobra d’òrbita al voltant de la Lluna i, en fer aquesta volta al voltant de la Lluna, van arribar a estar a 400 mil quilòmetres, poc més, de la Terra. Res, aquí mateix. Penseu que el Sol està a 150 milions de quilòmetres de la Terra, és a dir, que no hem ni esgarrapat el sistema solar. Aleshores, podríem dir: “Bé, ja, però també hi ha sondes no tripulades”. Hi ha les sondes Voyager, que són les més famoses.

Les sondes Voyager són unes naus espacials no tripulades que es van enviar, es van llançar a l’espai el 1977, és a dir, que des del 1977 s’allunyen de la Terra. Van fer unes fotos a Saturn, a Neptú, a Urà i van seguir i es van seguir allunyant. Bé, doncs les sondes Voyager encara no han sortit del sistema solar, i el sistema solar es calcula que té al voltant d’un any llum de radi, i l’estrella més propera, que és la que es troba aquí mateix, la nostra veïna immediata, es diu Proxima Centautri i es troba a quatre anys llum. És a dir, el sistema solar té un radi d’un any llum i Proxima Centauri, que és l’estrella més pròxima, es troba a quatre anys llum de nosaltres. És a dir, que de cap manera hem arribat a acariciar una estrella. Aleshores, com és possible que sapiguem tantes coses de les estrelles? La seva temperatura, la seva massa, la distància. Això ens porta a una altra pregunta. I aquesta altra pregunta té a veure amb quina és la matèria primera amb què treballa l’astronomia. M’explico. La biologia treballa amb éssers vius, no? Animals, plantes, microorganismes. La geologia treballa amb roques, amb minerals. Aleshores, l’astronomia amb què treballa? Quina és la matèria primera de l’astronomia? La resposta és lluminosa: la llum. Tot el que sabem de les estrelles ho sabem gràcies a la llum que ens arriba d’elles. Així és com deduïm la massa, la temperatura… Qualsevol de les propietats de les estrelles la deduïm a través de la llum que ens arriba d’elles. I això… Només amb la llum no és suficient. No és suficient agafar un telescopi i posar-nos a mirar una estrella, anotar el que veiem i ja està. Fa falta un segon ingredient. I aquest segon ingredient són… De què hem vingut a parlar avui? Les matemàtiques. Les relacions matemàtiques.

Perquè nosaltres, quan mesurem la llum de les estrelles, mesurem determinades propietats i, a partir d’una sèrie de càlculs matemàtics, deduïm les propietats que ens interessen de l’estrella. Així és com deduïm quina massa té una estrella, quina temperatura té o a quina distància es troba. Tot això ho sabem aplicant relacions matemàtiques a les propietats de la llum. I, entre totes les relacions matemàtiques, hi ha un objecte matemàtic molt senzill i una mica puntegut, que és el que ens serveix per mesurar la distància a les estrelles més properes. És el triangle. El triangle és la base per mesurar la distància a les estrelles més properes, perquè mesurar la distància a aquestes estrelles s’assembla bastant a mesurar, per exemple, l’amplària que té un riu. Us en posaré aquí un exemple. Imaginem que volem mesurar l’amplària d’un riu que no podem travessar. Jo tinc… Representaré aquí la vora del riu. Aquí, l’altra vora. Aquí suposaré que hi ha algun objecte de referència. Un arbre, posarem que hi ha un arbre i miraré aquest arbre d’aquí. I jo, que soc en aquesta altra vora d’aquí baix, em posaré just davant d’aquest arbre. El fixaré, l’agafaré com a referència. Em poso davant de l’arbre. És clar, si soc just al davant, fixeu-vos que aquí la meva línia de visió… Quan miro l’arbre, estic mirant perpendicularment, això són 90 graus, estic mirant perpendicularment a la direcció del riu. I, aleshores, des d’aquesta posició, em desplaçaré aquí, per exemple, una certa distància, que mesuraré. Vaig mesurant la distància. Com que sí que soc aquí i puc posar el meu regle o la meva cinta mètrica, ho mesuraré. Recorreré uns 100 metres, diguem-ne, per posar nombres rodons. 100 metres cap aquí. I em posaré aquí. I des d’aquí tornaré a fixar i a mirar directament l’arbre.

I, des d’aquí, el que podré fer és mesurar quin angle forma la meva línia de visió en relació amb l’arbre. Posem que aquest angle… El mesuro, i això és una cosa que puc fer, puc mesurar aquest angle perquè hi ha teodolits i altres aparells que serveixen per mesurar angles. I posem que són 30 graus, també per posar nombres concrets. Bé, doncs aquí és on ja hi ha un primer ús del que es diu fer “mesures indirectes”, gràcies a les matemàtiques, és a dir, mesurar coses sense mesurar-les, gràcies a les relacions matemàtiques. Perquè jo aquí he mesurat aquest angle, he mesurat aquest, que eren 90 graus, però automàticament també puc saber quant mesura aquest angle d’aquí. I no he anat allà perquè no puc travessar el riu i no l’he mesurat, sinó que, automàticament, ho sé. Per què? Perquè sabem que els triangles rectangles o els triangles en general, entre moltes altres propietats, compleixen una propietat, que és que la suma dels angles interns suma 180 graus. Per tant, si això són 180 graus i jo en tinc 90 i 30, aquest necessàriament ha de ser de 60 graus, per tant, ja tinc tots els angles d’aquest triangle i conec un costat. Bé, doncs jo ara què faré? Trec la llibreta. Trec la llibreta i dibuixo un triangle. Dibuixo un triangle. És clar, tinc el meu transportador d’angles, tinc el meu regle, i dibuixaré un triangle que tingui els mateixos angles que aquest d’aquí, és a dir, un triangle que es diu un triangle semblant perquè té els mateixos angles. És com una reducció del triangle real. I el dibuixo, faig 90 graus, 30 graus, 60 graus i me’l dibuixo aquí. Aleshores, mesuro quant fa el costat al meu dibuix que correspon a aquests 100 metres, i posem que són… Al meu dibuix, a la meva llibreta, són deu centímetres, aquest triangle d’aquí. Sí?

Però què passa? Que, quan dos triangles tenen els mateixos angles, són semblants. Que siguin semblants vol dir que és un l’ampliació de l’altre. És com si hagués fet un zoom cap a dins o cap a fora i, per tant, que sigui un l’ampliació de l’altre vol dir que mantenen les mateixes proporcions i que, per tant, la mateixa ampliació que jo aplico a aquest costat per passar a aquest és la mateixa ampliació que he d’aplicar a aquest costat per passar a aquest d’aquí. Aleshores, si faig un càlcul ràpid aquí i divideixo 100 metres entre deu centímetres, amb els canvis d’unitats, el que sigui, jo veig aquí que l’escala és d’u a mil i, per tant, això vol dir que a cada centímetre del dibuix li corresponen mil centímetres al triangle real. Aleshores, què faré jo ara? I què vull saber? Jo vull saber quant fa aquest costat d’aquí, que és l’amplària del riu. Doncs mesuraré aquest costat, me’l mesuro al dibuix. Al dibuix veig que això fa sis centímetres. Per tant, ara ja us he marejat amb tants nombres, però si això mesurava deu centímetres i aquí eren 100 metres, si això fa sis centímetres, amb un càlcul ràpid, quan em donarà aquesta amplària? 60. Que bonic que m’hàgiu dit això. 60 metres. I acabeu de calcular l’amplària d’un riu sense poder-lo travessar. Acabeu de fer una mesura indirecta gràcies a un triangle i a les relacions matemàtiques que hi ha dins d’un triangle. I em direu: “Sí, perfecte, Sandro, preciós. Però tot això què té a veure amb les estrelles? Perquè ens hem posat aquí a mesurar rius”. Bé, doncs el primer, abans de passar a les estrelles, una última qüestió important: és fonamental que, per poder fer aquesta mena de construcció, m’allunyi prou cap aquí, perquè imagineu-vos que estic fixant l’arbre, m’allunyo un pas i dic: “No, ja m’he mogut deu centímetres”. Tornaré a mirar i em tornarà a semblar que estic perpendicularment a l’arbre. És a dir, per poder mesurar algun angle diferent aquí, m’he d’allunyar. Doncs aquí he posat 100 metres.

Bé, doncs la manera en què mesurem la distància a les estrelles, fonamentalment, és la mateixa que aquesta. En el cas de les estrelles, l’estrella té el paper de l’arbre. L’estrella és l’objecte que hem d’observar des de dos llocs diferents per poder dibuixar aquí alguna mena de triangle que després puguem repetir a la nostra llibreta i fer aquestes proporcions. Però què passa en el cas de les estrelles? Doncs, és clar, que una estrella està molt més lluny, per tant, jo no puc observar l’estrella des d’aquí i moure’m 100 metres i tornar-la a observar perquè la veuré en la mateixa posició, no hi veuré cap diferència. És com quan feia només un pas per veure l’arbre. Aleshores, el primer que necessitem fer és trobar una distància prou gran per poder observar des de dues posicions diferents l’estrella. Aleshores, quina creieu que és la distància més gran, la separació més gran, des de la qual jo puc observar una estrella en dos punts diferents? Doncs una seria anar als antípodes, anem al punt oposat, diametralment oposat, de la Terra, perquè així aprofitem que la separació és tot el diàmetre terrestre. Bé, doncs això no estaria malament, però no és suficient. Les estrelles estan molt lluny, ens hem d’allunyar més. És clar, podries dir: “Ah, una nau espacial”. Penseu que aquests mètodes s’aplicaven abans que hi hagués naus espacials. No cal moure’s d’aquí. El que cal és tenir paciència. Sabeu per què? Perquè jo mesuraré, observaré una estrella des d’aquí, esperaré sis mesos i, aleshores, tornaré a observar l’estrella. I què ha passat en sis mesos? Que la terra ha recorregut la meitat de la seva òrbita. Per tant, si tinc aquí la meva estrella i aquí mesuro… Aquí al mig hi ha el Sol. No és un dibuix a escala, com podeu veure.

Si jo faig una mesura, això és la Terra, i des d’aquí observo, miro, cap a l’estrella i m’espero a fer mitja volta al voltant… Aquesta és l’òrbita. I m’espero. Això ho faig aquí el 21 de juny i, aleshores, aquí vinc el 21 de desembre. I des d’aquí torno a mirar l’estrella. Tot això es fa mirant la inclinació de l’estrella al firmament. Es dedueixen aquests angles. Fixeu-vos aquí què ha passat. Quina és la separació? Això és com els 100 metres que hem recorregut al riu. Quina separació tenim aquí? Tenim, com a separació, tot el diàmetre de l’òrbita terrestre, que són 300 milions de quilòmetres. Tenim una separació… Els 100 metres passen a ser 300 milions de quilòmetres. Bé, doncs aquí, com veieu, puc dibuixar un altre triangle a partir de veure els diferents angles amb què observo una estrella. Dibuixo… Agafo la llibreta, dibuixo un triangle semblant a aquest i, com que conec aquesta distància, trobo quina és la relació entre el meu dibuix i el triangle real o el triangle que descriu la situació real i, a partir d’aquí, puc deduir quant mesura aquest costat, que és la distància que ens separa de les estrelles. Aleshores, òbviament, us podeu imaginar que, en la pràctica, les coses no van exactament així. És a dir, no ens dediquem a fer dibuixos i fer mesures. Algú ja ha fet aquests dibuixos, hi ha unes relacions, que són les relacions trigonomètriques, que ens permeten automàticament, si jo sé els angles d’un triangle i en conec un costat, deduir automàticament els altres costats. Però, fixeu-vos-hi: la trigonometria i el triangle, aquest aliat tan senzill i tan puntegut, és l’únic que ens permet arribar fins on no arriben ni els nostres sentits.

Leire. Hola, soc la Leire. Jo també estic estudiant el batxillerat tecnològic. Últimament, es parla molt sobre els nombres primers i m’agradaria saber per què són tan importants o per què agraden tant dins de les matemàtiques.

Alessandro Maccarrone. Leire, doncs moltíssimes gràcies. I, definitivament, és clar, els nombres, com tots els conceptes matemàtics, sorgeixen a partir de necessitats pràctiques, de necessitats humanes. Però el que és bonic, el més interessant de les matemàtiques, és que, una vegada sorgeixen, una vegada es comencen a utilitzar, s’emancipen d’aquestes necessitats humanes i cobren sentit en si mateixes. És una mica com si ens regalessin un joc amb una sèrie de peces i les instruccions diuen que les peces s’han d’utilitzar d’una manera determinada. I anem jugant i descobrim que, en realitat, es poden fer moltes més coses amb aquestes peces. Amb els nombres, amb els nombres naturals, d’entrada jo tinc aquests bitxos aquí, i què faig? Doncs em poso a estudiar-los. Em pregunto: tots es comporten igual? Quina relació hi ha entre ells? Quines propietats tenen aquests i aquests altres? Fixeu-vos que és com estar estudiant animals exòtics en el seu hàbitat. Estem mirant a veure aquí quina classificació puc fer. I, és clar, d’entrada, hi ha algunes classificacions que són immediates. Per exemple, nombres parells i nombres imparells, els que es poden dividir en dos grups exactes i els que no es poden. I, bé, amb això ja reparteixo els nombres d’un carrer, els parells a una banda i els imparells a l’altra banda. Però després també em puc preguntar, per exemple, per la forma dels nombres, quina forma poden tenir els nombres. Per exemple, hi ha una sèrie de nombres que, com sabeu, tenen forma de quadrat o es poden representar en forma de quadrat. Per exemple, el quatre. Doncs el quatre té forma de quadrat si el represento amb punts. Amb punts represento el nombre. El nou és un altre nombre quadrat. El 16 és un altre nombre quadrat. Si volem, l’u també és un nombre quadrat de costat u. Doncs aquí ja veig que hi ha alguns nombres que poden tenir forma.

I hi ha nombres que no poden ser… La majoria dels nombres no són nombres quadrats, però sí que poden tenir forma de rectangle. Per exemple, el sis el puc representar en forma de rectangle amb dues files i tres columnes. Doncs aquí ja em passa una mica com als tovallons. És a dir, que em poso a pensar de quantes maneres… Quants rectangles puc fer, quants rectangles puc formar amb sis boles com aquestes? Quants rectangles podem formar amb sis boles? Digue-m’ho tu mateixa si vols. Dos. Aquí ens en surten dos, que seria aquest i un altre, que és el mateix girat 90 graus. Però podem estirar una mica la definició de rectangle igual que ho hem fet abans amb el quadrat i acceptem també rectangles fila o rectangles columna. Aleshores, jo, amb 16 fitxes, també puc fer un rectangle que sigui una fila i sis columnes o puc fer un rectangle que siguin… En són sis, sí. Una columna i sis files. Per tant, aquí tinc quatre opcions. I amb el 12? Quantes en tindré amb el 12? El doble? Això està bé perquè aquí tenim una intuïció, però després cal comprovar-la. Alguna idea de quantes en són? Si ho feu, no ho faré aquí, veureu que hi ha sis possibilitats, en realitat. Teniu sis possibilitats jugant amb sis rectangles, amb 12 fitxes. Molt bé. Però, aleshores, provaré un altre nombre i ho provo, per exemple, amb set fitxes. Amb set fitxes… Quants rectangles puc formar amb set fitxes? Doncs aquí ho provaré i diré que aquí només tinc dues opcions. Tinc el rectangle fila i el rectangle columna, oi? Només tinc dues opcions. Intento encaixar.

A part, això és divertit de fer amb fitxes de debò perquè vas provant. “No em quadra. Me’n sobra una per aquí, me’n falta una per aquí”. Bé, doncs el set ja té un comportament diferent. L’anomenem… És un nombre fila o un nombre columna. D’acord, però, aleshores, em poso a investigar i resulta que amb el cinc passa el mateix. Només té una fila i una columna. No li puc donar una altra forma de rectangle. Amb l’11 passa el mateix. Amb el 13 passa el mateix. Aleshores, estem aquí estudiant els animals, aquests bitxos, els nombres naturals en el seu hàbitat i, quan veus uns quants animals que es comporten de la mateixa manera, dius: “He de veure què tenen en comú, perquè això vol dir que són de la mateixa espècie”, no? Aleshores, els miro i dic: “És clar, el 12, el set, el cinc…”. No, però, el 12 no. El set, el cinc, l’11, el 13. Tots aquests tenen el mateix comportament. Aleshores, dic: “Ah, ja sé què passa. És clar, què tenen de diferent aquests respecte al 12 i al sis? Que són nombres imparells, no? És clar, perquè són nombres imparells”. Aleshores, sempre que agafi un nombre imparell, només podré fer files i columnes, correcte? Però si agafo el 15, resulta que puc fer un rectangle de tres files i cinc columnes. Aleshores, el que tenen en comú i que fa que només puguin tenir una fila i una columna és que són imparells? No és això. El problema no és que siguin imparells, no és aquesta la clau, no és això el que fa que es comportin d’aquesta manera. Què tenen en comú aquests nombres? Aquests nombres, per entendre el que tenen en comú, he d’interpretar, ara sí, matemàticament, què signifiquen les files i les columnes d’aquests rectangles. És clar, si jo puc representar el sis com un rectangle de dues files i tres columnes, vull dir que el sis es pot dividir entre dos i entre tres de manera exacta. I el 12 es pot dividir entre quatre i entre tres. I el 15 es pot dividir entre tres i entre cinc.

En canvi, si un nombre només el puc representar com una fila o com una columna, què vull dir? Que quants divisors té? Dos, que són l’u, una fila, i ell mateix. Bé, doncs, com sabeu, aquesta és la definició de nombres primers. Però fixeu-vos que no ens l’ha revelat ningú, sinó que surt de manera natural a l’hora d’investigar les propietats d’aquests nombres. Aleshores, bé, em podríeu dir: “D’acord, ara veiem i, a més, tenim una interpretació geomètrica dels nombres primers. Però per què aquesta obsessió pels nombres primers? Per què són tan importants? Per què se’ls dona tanta importància en la investigació matemàtica?”. Bé, això és culpa d’un tal Euclides d’Alexandria, que fa més de 2.000 anys va descobrir una cosa molt forta. Euclides va demostrar, va publicar en les seves obres, que qualsevol nombre natural, tots els nombres naturals, es poden expressar sempre com un producte de nombres primers. Però, a més, la manera, aquest producte de nombres primers és únic. Hi ha una única manera d’expressar qualsevol nombre natural només com un producte de nombres primers. Estic segur que les vostres vides no seran igual a partir d’ara. Aturem-nos un moment a pensar què diem aquí. És a dir, el que diem és que qualsevol nombre sempre es pot expressar amb una multiplicació en què només surtin nombres primers. D’acord, però diem una cosa molt més forta: diem que aquesta manera és única, només hi ha una única manera en què puc expressar el 24, ho escriuré aquí, com a producte de nombres primers. El 24, hi ha moltes multiplicacions que em donen 24: sis per quatre, vuit per tres, dos per quatre per tres. Puc buscar moltes multiplicacions, però hi ha una única multiplicació formada només per nombres primers que em dona el 24. Quina és?

Dos per dos per dos per tres, que també, amb les potències, ho puc expressar com dos a la tres per tres. Però fixeu-vos què vol dir això. Això vol dir que dos elevat a tres per tres és el DNI del número 24, és el seu ADN. És a dir, tota la informació que necessito saber sobre el número 24 està continguda aquí dins, són els seus ingredients fonamentals, igual que el 15 és tres per cinc i cap altre és tres per cinc. Per exemple, el 33 és 11 per tres i cap altre és 11 per tres. I així, successivament. Doncs fixeu-vos que, aleshores, això vol dir que els nombres primers són els constituents bàsics dels nombres naturals. Igual que tota la matèria sabeu que està feta d’electrons i de quarks i que, combinant els quarks i els electrons, surten altres partícules i surten tots els elements i tota la matèria que coneixem, tots els nombres naturals es poden formar a partir únicament dels nombres primers. Aquest és el motiu pel qual es dediquen tants esforços a investigar-los, a entendre’ls, a veure quants n’hi ha, com es distribueixen, quines propietats tenen. I hi ha molts resultats famosos, de teoremes, de conjectures, que tenen a veure amb els nombres primers. N’hi ha una bastant famosa, que és la conjectura de Goldbach. És una conjectura molt interessant perquè és molt senzilla d’explicar. És molt senzilla de formular. Diu el següent. Diu: qualsevol nombre parell, qualsevol nombre parell més alt que el dos es pot expressar sempre com la suma de dos nombres primers. Ja està, així de senzill. Per exemple, digueu-me un nombre parell baix. El vuit. Agafem el vuit. El vuit com se us acudeix que es pot expressar com a suma de dos nombres primers? Cinc més tres. Perfecte. Un altre, el 16. A veure, qui vol? Tu volies. Com et dius?

Aarón. Aarón.

Alessandro Maccarrone. Aarón, digue’m.

Aarón. 11 més cinc.

Alessandro Maccarrone. 11 més cinc. I fixeu-vos que, en aquest cas, hi ha més possibilitats perquè també en tindríem una altra. Quina altra tindríem aquí? 13 més tres. 13 més tres també en fan 16. Bé, podeu continuar provant totes les vegades que vulgueu i ho trobareu sempre, sempre trobareu… Si busqueu a internet, hi ha calculadores de la conjectura de Goldbach a les quals podeu posar un nombre enorme parell i us donarà la seva descomposició o totes les seves descomposicions en suma. Compte, no producte, ara, sinó la suma de tots els nombres primers. I, així i tot, a pesar que ens sembli evident que això ha de ser així perquè ho provem i ho provem i no falla mai, provar una cosa moltes vegades i que funcioni no és equivalent a haver-la demostrat. I això encara avui dia, encara no s’ha demostrat i han passat més de 300 anys des del moment en què Christian Goldbach va enviar una carta a Euler en què li proposava aquesta conjectura. I això és el que fascina molt d’aquesta conjectura, que és tan senzilla d’explicar, que tots, no només l’entenem, sinó que la posem en pràctica i, en canvi, en 300 anys ningú ho ha aconseguit demostrar encara. Però, a més de tots aquests resultats teòrics o purament matemàtics dels nombres primers, m’heu dit que sou del batxillerat tecnològic molts i moltes de vosaltres. Us agradarà saber que els nombres primers tenen moltes aplicacions tecnològiques interessants perquè s’utilitzen molt, per exemple, en l’àmbit de l’encriptació. Per encriptar missatges, els missatges que enviem amb el mòbil, allà hi ha nombres primers, s’usen nombres primers. Per què? Què s’utilitza aquí? S’utilitza la dificultat que a vegades tenim per factoritzar un nombre en nombres primers. Perquè, és clar, si us dono el número 21, tots em direu que és tres per set. I, si us dono el número, per exemple, 39, aquest és 13 per tres. Molt bé, 13 per tres.

I, si us dono el número 23.707, què em direu? Bé, aquí us hauré de deixar una estona. Si ho heu de fer a mà, potser necessiteu unes quantes hores. Amb la calculadora, potser, una mica menys. Per què? Perquè aquest número, 23.707, és el producte de dos nombres primers 151 per 157. Aleshores, imagineu-vos tot el que hem de provar abans d’arribar a 151 i 157. I, si voleu ja amargar la tarda a algú que us parla pel mòbil i voleu que us deixi en pau, aneu a internet, busqueu una pàgina on hi hagi els nombres primers fins al… Que hi hagi una llista llarga de nombres primers i busqueu dos nombres primers de 700 xifres cadascun, els multipliqueu, per tant, us sortirà un nombre d’unes 1.400 xifres i dieu: “Factoritza’l. Busca els factors primers d’aquest nombre”. I no us preocupeu perquè no ho aconseguirà en tota la tarda ni en tota la vida, ni encara que utilitzi la calculadora, ni encara que utilitzi els ordinadors més potents que existeixen avui dia, perquè aquest problema no el poden resoldre els ordinadors. Els ordinadors actuals no són capaços de resoldre-ho. I això és en el que es basa la criptografia de la missatgeria d’internet i dels mòbils. Nosaltres, si interceptem un missatge de mòbil que no ens han enviat a nosaltres, per desxifrar-ne el contingut, hauríem de factoritzar un nombre de 1.400 xifres, de més de 1.000 xifres, per obtenir un dels nombres primers que hi surt. És clar, la persona que rep el missatge té la clau, i la clau és un d’aquests dos nombres primers. Aleshores, divideix i troba l’altre i desfà la clau. Però, si nosaltres l’interceptéssim, no ho aconseguiríem fer de cap manera. I això potser és el que explica per què hi ha tant d’interès…

Segur que heu sentit moltes vegades aquesta obsessió de “descobert el nou nombre primer més gran de la història”. És clar, penseu que, avui dia, el nombre primer més gran que es coneix, que es va descobrir el 2018, fa… Fins aquest matí era el més gran. No sé si ara, en aquestes hores, algú n’ha descobert un altre. Però el 2018 es va descobrir un nombre que té més de 24 milions de xifres. Compte, no dic que sigui el nombre 24 milions i escaig, que el nombre sigui aquest, no. És que aquesta és la quantitat de xifres… Imagineu només el paper necessari per escriure aquest nombre. No el va descobrir una persona. El van descobrir moltes persones en un projecte de computació distribuïda. Usuaris de tot el món comparteixen la potència dels seus ordinadors, deixen que hi hagi un programa corrent en els seus ordinadors, per anar provant i anar buscant si un nombre és primer o no és primer. I així és com es va descobrir aquest nombre primer, que és el campió avui dia, és el màxim nombre primer que es coneix. El que passa és que jo us acabo de dir que, per encriptar amb el mòbil, calen nombres primers grans, però no tan grans. Us he dit nombres primers de 700 xifres, de 800 xifres, però no de 24 milions de xifres. Aleshores, per què aquesta obsessió de continuar buscant el nombre més gran, el més gran? Què es busca amb això? S’està buscant el nombre primer més gran que existeix? Sento decebre-us, però una altra vegada arriba Euclides a dir-nos que no, perquè Euclides també va demostrar fa anys que sabem que els nombres primers són infinits. No s’acaben mai. Encara que en trobis un de molt gran, sempre n’hi ha un de més gran. Aleshores, per què aquesta obsessió per buscar nombres primers més grans, més grans i encara més grans? Quan algú em pregunta això, m’agrada respondre el mateix que responia l’escriptor uruguaià Eduardo Galeano quan li preguntaven per a què servien les utopies.

Aleshores, ell deia que les utopies són com l’horitzó. És allà lluny. Tu fas un pas cap a l’horitzó i l’horitzó s’allunya un pas. Tu fas deu passos i s’allunya deu passos més. Aleshores, per a què serveixen les utopies? Per a què serveix continuar buscant nombres primers? Doncs serveix per a això, per seguir caminant.

Ángela. Hola, Alessandro, em dic Ángela i, com a graduada d’una carrera de la branca econòmica, hi ha una cosa que t’he sentit a dir i que em va cridar molt l’atenció, i és que les matemàtiques contribueixen a una societat més lliure i més justa. I m’agradaria que ens expliquessis el perquè.

Alessandro Maccarrone. Mireu, jo crec que esteu d’acord amb mi que una societat amb cultura matemàtica és una societat que pot resoldre més problemes i, en aquest sentit, és una societat més lliure perquè té més capacitat d’arribar on vol. Una societat amb cultura matemàtica, a més, és més difícil de manipular, pot tenir un sentit més crític davant la informació que rep i, per tant, també pot ser una societat més justa. Però jo crec que, si realment volem fer cert aquest missatge, aquesta idea que les matemàtiques poden contribuir a una societat més justa i més lliure, el primer que hem de fer és canviar la mirada que tenim sobre les matemàtiques i deixar de pensar en les matemàtiques només com un instrument per resoldre coses. Hem de promoure una mirada molt més humanística sobre les matemàtiques, perquè sí, les matemàtiques formen part de les humanitats, no perquè serveixin d’inspiració a l’art, a la música, a la literatura, que també, també hi ha alguna cosa d’això, però perquè les matemàtiques són una part essencial de les humanitats, en primer lloc, perquè són una creació humana. I, com tota l’activitat humana, està subjecta a consensos, a debats, a arbitrarietats també. Per exemple, el número u. És un nombre primer l’u? Doncs depèn. Fins al segle XIX, es considerava que era un nombre primer perquè només es pot dividir entre u i entre si mateix. Però, en canvi, actualment hi ha un consens bastant ampli en el fet que l’u no s’ha de considerar un nombre primer perquè, si no, no funciona el teorema fonamental de l’aritmètica, que tots els nombres es poden descompondre de manera única en nombres primers. Per tant, són una creació humana. Però, a més, les matemàtiques configuren, modelen, la nostra visió del món, la forma en què entenem el que passa a la nostra societat.

Tu has dit que venies d’una carrera econòmica. Doncs cada vegada que llegim en algun lloc que l’1% més ric de la població mundial controla el 40% dels nostres recursos, llegim una dada així i ens escandalitzem. Ens posem les mans al cap i diem: “Això no és proporcionat, això és poc proporcionat”. Fixeu-vos en el que fem. Estem aplicant un concepte matemàtic per emetre un judici ètic. Analitzem la realitat amb un prisma matemàtic. O quan, durant segles, es va creure que la gravetat era una força. I, en canvi, al segle XIX, una sèrie de matemàtics, Riemann, Lobachevsky, Gauss, van desenvolupar les matemàtiques no euclidianes, matemàtiques en espais corbats. I, gràcies al fet que algú va desenvolupar aquestes matemàtiques, a un altre algú, un tal Albert Einstein, se li va acudir que potser la gravetat no era una força, sinó que era una manifestació de la curvatura de l’espai-temps, per tant, també, la nostra visió de la natura, de l’univers, està modelada pel prisma matemàtic. I les matemàtiques són part de les humanitats perquè ens poden produir plaer estètic. Hi ha tota una bellesa al nostre voltant que és invisible, a la qual no podem accedir a través de la resta dels sentits. Només si ens posem les ulleres matemàtiques podem captar tota aquesta bellesa feta de formes geomètriques, de patrons, de regularitats. Les matemàtiques formen part, sens dubte, de les humanitats. I deixeu-me que acabi amb una història que és d’un altre àmbit, d’una altra de les meves grans passions, que és la literatura. És una història que té a veure amb Primo Levi. Primo Levi és un escriptor italià que de formació és químic. Fixeu-vos també aquí en la connexió literatura i ciència.

Ell era químic, era d’origen jueu, i el van detenir i va passar un any al camp de concentració d’Auschwitz. Va aconseguir sobreviure i, precisament, la seva obra principal, el seu llibre més important, que es titula ‘Si això és un home’, relata la seva experiència, el seu pas pel camp de concentració d’Auschwitz. Hi ha un capítol que m’agrada especialment d’aquest llibre que es titula ‘El cant d’Ulisses’, i en aquest capítol explica que un dia estan allà treballant i li toca a ell anar a buscar el menjar per a tot el grup. Aleshores, ha de travessar tot el camp d’una punta a l’altra i l’acompanya en aquest trajecte un altre presoner, francès, a qui tots anomenen Pikolo. Van allà, no s’entenen gaire perquè Pikolo parlava francès, ell parlava italià, i van cap allà. És clar, durant el trajecte, podrien parlar de moltes coses. Podrien parlar, per exemple, de com és de terrible el que els està passant, de com enyoren les seves famílies, de la sort relativa que han tingut de fer cap al grup dels químics, on les condicions de vida no estan tan malament com a la resta del camp. Però no parlen de res de tot això. Durant el trajecte, Pikolo diu que li encantaria aprendre italià. A Primo Levi no se li acudeix res millor per ajudar-lo a aprendre italià que parlar-li de la ‘Divina Comèdia’ de Dante, de l’‘Infern’ de la ‘Divina Comèdia’ de Dante. I, d’alguna manera, aconsegueix fer-se entendre i li explica un dels cants, un dels capítols, de ‘La Divina Comèdia’ de Dante. El cant vint-i-sisè, que és el que parla precisament d’Ulisses, és el cant d’Ulisses. Per què escull això, Primo Levi? Doncs perquè, enmig de l’horror que viu, al text de Dante troba les paraules necessàries per descriure aquest infern que ells també viuen allà, les condicions que estan vivint. Però ho fa també per un altre motiu. Ho fa perquè, recuperant aquesta obra literària italiana, ell reivindica la seva condició humana.

En el context que ell està vivint, en què cada dia es posa en qüestió que realment siguin humans els presoners del camp d’Auschwitz, ell se sent humà reivindicant aquesta obra de la literatura italiana. I, a més, no és casual que esculli precisament el cant d’Ulisses. En aquest cant, Ulisses explica a Dante… Dante troba Ulisses a l’infern i Ulisses li explica els seus últims dies, els últims dies de la seva vida, i li explica com, amb una nau, amb un vaixell, han superat les Columnes d’Hèrcules. Les Columnes d’Hèrcules es trobaven a l’actual estret de Gibraltar, i Ulisses ha superat aquestes columnes, ha navegat durant dies i, finalment, albiren terra a la llunyania. I, quan albiren terra per fi i creuen que hi arribaran, de sobte, apareix un terrible remolí que engoleix la nau i l’arrossega cap a les profunditats. Aquest remolí és el càstig dels déus, que castiguen Ulisses per haver-se atrevit a anar més enllà de les Columnes d’Hèrcules, que eren el límit després del qual cap ésser humà podia viatjar. Doncs, en el moment àlgid en què la barca s’està a punt d’enfonsar i regna el caos a la tripulació, Ulisses es dirigeix a la tripulació, els crida i els diu: “Recordeu la vostra condició humana. Recordeu que no vau néixer per viure com bèsties, sinó per seguir la virtut i el coneixement”. El coneixement. És cert, nosaltres som éssers vius perquè mengem, perquè ens reproduïm i perquè ens relacionem. Però el que ens fa realment humans és la capacitat de raonar. No hi ha res més essencialment humà que la raó i el coneixement. I jo crec que no hi ha coneixement més lliure que el de les matemàtiques.