¿Lennon o McCartney? Les matemàtiques resolen el dubte

Keith Devlin. Fer matemàtiques avui dia és com dirigir una orquestra tecnològica, amb totes les habilitats que això requereix, amb tota la creativitat que implica i amb tota la diversió que comporta.

Zuberoa Marcos. Keith, benvingut. Moltes gràcies per ser avui aquí amb nosaltres.

Keith Devlin. Gràcies per la invitació.

Zuberoa Marcos. Keith, ets molt polifacètic, perquè ets matemàtic…

Keith Devlin. Exacte.

Zuberoa Marcos. Ets investigador, ets divulgador científic. M’agradaria començar pel principi.

Keith Devlin. D’acord.

Zuberoa Marcos. La teva passió per les matemàtiques. Les matemàtiques són una cosa que sempre t’ha captivat o hi va haver algun moment a la teva vida en el qual te’n vas enamorar?

Keith Devlin. Hi va haver un moment concret, sí, vaig tenir un moment de revelació. El que em va atreure en primer lloc va ser la ciència. Estava a punt de passar de l’escola primària a la secundària, al Regne Unit, l’any en què van llançar l’Sputnik. Jo era un nen que creixia a l’Anglaterra de la postguerra. Llegia molt. Hi havia molt poca ràdio i televisió, però llegia molta ciència ficció, que era un dels gèneres que més m’agradaven. Era un lector voraç i les històries de ciència ficció m’entusiasmaven. I, de cop, la ciència ficció es va convertir en ciència real. Havien llançat un coet que havia posat un satèl·lit en òrbita. Jo estava totalment entusiasmat, i vaig dir: “he de dedicar-me a això”. Tenia deu anys, però allò era el que volia fer. Sabia que havia d’anar a l’escola secundària per estudiar física, perquè la física era el que portava a l’espai. En realitat, volia ser astronauta, no ho tenia gaire clar, però sabia que volia ser alguna classe de científic. Jo volia estudiar física, així que vaig anar a l’escola secundària.

Però vaig descobrir que en realitat calia saber bastantes matemàtiques per fer física i les matemàtiques no m’anaven bé. A primària vaig ser l’últim a aprendre’s les taules de multiplicar.

Així que vaig començar a esforçar-me molt a aprendre matemàtiques per poder estudiar física i poder ser astronauta o alguna cosa així. No m’agradaven les matemàtiques, no tenien sentit per a mi, però vaig aprendre a seguir les regles i a fer els càlculs i vaig acabar traient molt bones notes. Però després, quan tenia 16 anys, vaig començar amb les matemàtiques avançades, en concret, amb l’anomenat “càlcul”. El càlcul és el que fa que els nens que sobreviuen a àlgebra n’acabin totalment farts. Gairebé tots els meus amics van fugir del càlcul. Per mi va ser llavors quan vaig començar a interessar-me per les matemàtiques. Era interessant i emocionant.

Era clar que eren les matemàtiques de l’exploració espacial, dels moviments planetaris i dels satèl·lits. Així que el càlcul era el súmmum per a algú amb els meus interessos. I quan vaig saber que l’havia inventat Isaac Newton quan tenia 19 anys, només tres més que jo, vaig pensar: “hi va haver un anglès fa centenars d’anys que va inventar el càlcul. Jo hauria de ser capaç d’entendre aquestes coses”. I llavors és quan m’hi vaig posar de debò, i durant el procés, entre els 16 i els 18 anys, quan vaig anar a la universitat, totes les matemàtiques van començar a tenir sentit. Ja no eren una mera col·lecció de tècniques i trucs aïllats, i coses que calia aprendre’s per resoldre problemes. Tot va encaixar com un trencaclosques que llances a terra i cau en l’ordre correcte, desvelant la imatge.

Jo podia veure aquesta imatge de les matemàtiques i em va sorprendre. Era una de les coses més boniques que havia vist en la meva vida. Va ser una revelació. I allò era tot el que volia fer, la física es va esvair de la meva ment. No volia ser físic, no volia ser astronauta, volia aprendre sobre un món molt més excitant. L’espai exterior era emocionant, però aquest món de les matemàtiques abstractes, que era tot un univers en si mateix, era el que jo volia explorar. Així que a partir dels 16 o 17 anys només volia dedicar-me a les matemàtiques. Vaig anar a la universitat de King’s College de Londres a estudiar només matemàtiques.

Zuberoa Marcos. Keith, vas tenir un mentor o algú que t’ajudés a cultivar aquest amor per les matemàtiques? O ho vas fer pel teu compte?

Keith Devlin. Els meus principals mentors van ser, en realitat, escriptors de llibres de divulgació, raó per la qual vaig acabar esforçant-me tant a escriure llibres de divulgació. El que em va fer fer la transició van ser els llibres de gent com Walter Warwick Sawyer, que escrivia en anglès. Era canadenc i escrivia llibres de divulgació sobre matemàtiques. Hi va haver alguns clàssics de Lancelot Hoffman i altres persones. Així que jo llegia aquestes obres de divulgació, i això va ser realment el que em va ajudar a entendre de què anava tot allò. Vaig tenir la sort de tenir dos professors en els dos últims cursos de l’institut, on, al Regne Unit, s’havia d’escollir entre matemàtiques pures o matemàtiques aplicades.

Jo estava entusiasmat i destacava, mentre que als altres estudiants els costava molt perquè a ells no els agradava el càlcul. Jo era una molèstia en potència. Jo no feia res per ser-ho, però anava tan avançat que em van dir: “no et volem a classe. T’enviarem al menjador de l’institut, a un racó. Pots utilitzar aquests llibres de text universitaris. Et vindrem a veure de tant en tant i parlarem amb tu. Però bàsicament volem que aprenguis pel teu compte a partir d’aquests llibres”.

Al final del primer any els feia preguntes i em deien: “mai vaig arribar a entendre això quan era estudiant, però faré el que pugui”. Així que durant l’últim any d’institut vaig ser essencialment autodidacte a partir de llibres de nivell universitari. Però a aquells dos professors els honra el fet d’haver reconegut que els havia superat amb la meva capacitat i el meu coneixement. No se sentien molestos per aquest fet, es van limitar a dir: “farem tot el que puguem per ajudar-te i ens assegurarem que superis els exàmens”. Era clar que aprovaria els exàmens.

Així que, en aquest sentit, vaig ser autodidacte. Però el consol humà de tenir dos professors que em donaven suport i em deien: “ja no podem ensenyar-te res més, però t’ajudarem”, això em va proporcionar suport psicològic. Perquè jo venia d’una família de classe treballadora. Els meus pares estaven orgullosos de mi, però en realitat no entenien allò d’anar a la universitat en comptes de sortir i buscar una feina.

Aquests dos professors van marcar una gran diferència, però va ser una mena de suport indirecte. A part d’això, jo era autodidacte, cosa que em va permetre seguir endavant quan vaig anar a l’escola de postgrau a investigar. Ets independent. Tens un supervisor, però ets independent. Així que la meva feina i les meves experiències a l’institut em van preparar molt bé per ser estudiant de postgrau. I abans del postgrau també. Vaig anar a un curs universitari molt bo al King’s College de Londres. Només admetien 20 o 21 estudiants i havien de ser els millors del Regne Unit. Era molt bo. En aquella època només el 3% dels estudiants de secundària anaven a la universitat.

Zuberoa Marcos. Keith, has dit que en el teu cas hi va haver llibres de divulgació científica.

Keith Devlin. Sí, exacte.

Zuberoa Marcos. Llibres que van contribuir a fomentar aquest interès per les matemàtiques. I ara tu et dediques a això, entre d’altres coses. Has fet una feina de divulgació increïble amb els teus llibres.

Keith Devlin. Sí.

Zuberoa Marcos. Quin va ser el motiu darrere de tot això? Volies tornar el que havies rebut quan eres un nen?

Keith Devlin. Totalment. De fet, en cada llibre que he escrit, sobretot en els meus primers llibres, la persona en la qual estava pensant era el meu jo de 16 anys. I, en gran manera, aquest ha sigut el meu lector ideal des de llavors. Fins i tot quan he escrit textos de nivell de postgrau sempre he intentat fer-los accessibles, comprensibles, emocionants i atractius per a algú de 16 anys que realment tingui un interès en les matemàtiques o que hi tingui un interès potencial. Perquè si pots captar algú a l’edat tan influent de 16 anys, llavors és quan decidirà: “em dedicaré a això la resta de la meva vida”. Així que, en certa manera, quan escric m’estic parlant a mi mateix.

Zuberoa Marcos. Algun cop t’ha sigut difícil explicar un concepte o un tema matemàtic perquè l’entengui tothom?

Keith Devlin. En realitat, no. Alguns llibres els he escrit en tan sols tres setmanes. Alguns llibres m’han costat més, alguns m’han costat anys. Però mai m’ha sigut difícil fer-los accessibles. I crec que això és realment per la manera en què jo entenc les matemàtiques. Per mi, l’única manera d’entendre les matemàtiques és explicar-les amb paraules senzilles. Paraules que gairebé s’aprenen a la llar d’infants, quan encara jugues en sorrals. Metàfores senzilles i properes sobre pots d’oli i maionesa… Qualsevol cosa. Intento reduir-ho a idees molt simples que tinguin sentit per a mi com a ésser humà.

Així que la meva feina de divulgació consisteix simplement a dir: “quin significat té això per a mi?”. Una vegada vaig estar a la ràdio parlant sobre l’assistència gravitatòria, que és quan la NASA llança un coet i després volen reutilitzar-lo i enviar-lo a un altre lloc, a algun planeta, i li fan fer unes quantes voltes per augmentar l’acceleració gravitatòria, després el catapulten, i així va d’un lloc a l’altre. Per mi, la imatge és la d’anar amb una canoa riu avall, on és molt difícil canviar de direcció si l’aigua té molta força.

Però si arribes a un punt en el qual dos rius es creuen, hi ha un punt al mig en el qual pots agafar diferents camins. Així que vaig explicar l’assistència gravitatòria en termes d’anar navegant amb una canoa, esquivant roques, etcètera. Perquè així és com jo ho entenia. Per mi, entendre-ho significa reduir-ho a termes quotidians. I fins que ho aconsegueixo, no em sento segur al tractar aquests conceptes matemàtics.

Zuberoa Marcos. Keith, creus que el públic entén malament la ciència de les matemàtiques en concret?

Keith Devlin. El públic realment no entén les matemàtiques en absolut. El seu concepte de “matemàtiques” és totalment erroni. Sé d’on ve: de les matemàtiques que van aprendre a l’escola. Però aquest tipus de matemàtiques la veritat és que a mi tampoc m’agradaven, perquè no tenien sentit per a mi. Fins que no… El que estic a punt de dir ja no és necessàriament cert, perquè ara és diferent a causa de les tecnologies modernes.

Però al llarg de la història, quan acabaves l’escola, si no havies anat més enllà de les matemàtiques que t’ensenyaven allà, et quedaves amb una impressió de les matemàtiques que era totalment falsa. És com si volguessis aprendre a construir la teva pròpia casa. En última instància, el que vols és construir alguna cosa, així que en primer lloc cal aprendre com utilitzar la fusta, com tallar-la i unir-la, i com posar els maons.

Així que passes un quant temps aprenent a muntar les coses que necessitaràs si vols construir una casa. Però això no és emocionant, és avorrit, són només les eines de l’ofici. La raó per la qual ho fas és per poder dir: “construiré una casa, la dissenyaré i la faré bonica”. En realitat estàs parlant d’arquitectura. Per mi, les matemàtiques són com l’arquitectura. Les matemàtiques que s’aprenen a les escoles primàries són l’aprenentatge bàsic per col·locar maons i parets de maons i unir la fusta. Són les eines de l’ofici. I la diferència és tan abismal que no és gens estrany que les persones que no van més enllà de l’etapa de l’aprenentatge de les eines, de com fer el més bàsic, dels ingredients bàsics de la construcció d’una casa, si no van més enllà…

Ara que he mencionat ingredients, passa el mateix que quan cuines. Si mai vas més enllà de seguir una recepta fixant-te en els detalls i mai arribes al punt creatiu en el qual dius: “crec que provaré de posar-hi una mica de sàlvia” i ets creatiu, i dius: “això podria ser bo, o això altre. Hi posaré una mica de llimona”. Llavors comença a ser emocionant, a ser divertit i a ser creatiu. Passa el mateix amb les matemàtiques. Si no arribes a la fase creativa, mai t’entusiasmaran. Per cert, jo mai he arribat a la fase creativa de la cuina. Així que per mi cuinar és, en gran manera, una llauna, perquè he de cenyir-me a allò bàsic i seguir les receptes.

Zuberoa Marcos. Keith, abans que passem a parlar sobre com arribar a aquesta fase creativa en les matemàtiques, que és una cosa que realment em fascina, vull parlar d’una altra cosa. Tu has utilitzat les pel·lícules, la música, la lingüística, per explicar la bellesa de les matemàtiques i per explicar fins a quin punt estan immerses en la nostra vida quotidiana. En relació amb la música, l’any passat va sortir la notícia que un matemàtic havia descobert qui va compondre la famosa cançó dels Beatles ‘In my life’, va esbrinar si va ser Paul McCartney o John Lennon. Podries explicar-nos aquesta història?

Keith Devlin. Sí, va ser molt bonic. La raó per la qual vaig sortir a la ràdio i vaig escriure en un blog sobre el tema va ser perquè realment demostrava la manera en què les matemàtiques i la música poden interconnectar-se. I tot va sorgir perquè no se sabia qui havia compost aquella cançó i no hi havia forma d’esbrinar-ho. Lennon havia mort, però tant Lennon com McCartney deien… Era bastant ambigu perquè tots dos creien que l’havien composta.

Però sí que tenim tècniques per analitzar el llenguatge escrit. Els filtres de spam o correu brossa, per exemple. Van ser les matemàtiques les que ens van permetre crear-los. Quan rebem correus electrònics hi ha uns filtres que separen el correu brossa. I ho fan analitzant el contingut dels correus. Primer busquen paraules com “viagra”, “diners” i coses així. Busquen paraules clau òbvies. Però també busquen la manera en què s’uneixen les paraules, perquè els correus brossa, per poder fer el que fan, tenen una estructura determinada. I quan s’analitzen molts correus electrònics, es poden trobar patrons en els correus que són spam i es poden trobar patrons en els correus ordinaris.

Els patrons són molt diferents. S’agafen les seqüències de paraules, els tipus de paraules i algunes paraules en particular, i s’analitzen matemàticament. És com mirar un munt de petits gràfics. I després s’agafen dos missatges, es comparen els gràfics i un és spam i l’altre no ho és. Així funcionen els filtres de spam. Així que el que els investigadors van fer amb aquesta cançó de Lennon i McCartney va ser agafar totes les cançons que tots dos havien compost, algunes de les quals se sabia que havien sigut compostes per Lennon i altres se sabia que havien sigut compostes per McCartney. Així que van dir: “a les de McCartney les anomenarem ‘spam’ i a les de Lennon les anomenarem ‘correu real’, i executarem aquests algoritmes”.

No eren paraules, sinó notes musicals, però es pot fer el mateix. Un cop feta la conversió, podies agafar totes les seves cançons i representar-les en termes de petites seqüències de notes, i després executar els algoritmes del filtre de spam i veure en quina de les dues categories entrava la cançó d’‘In my life’. I va entrar en la de Lennon. De la mateixa manera que un bon filtre de spam identifica el correu electrònic real del que no ho és, l’algoritme va dir que ‘In my life’ és, definitivament, una de les cançons que és a la pila de Lennon, a la pila del correu electrònic real, i que no era a la pila de McCartney, que era la dels spams.

Zuberoa Marcos. Tinc entès que tens una teoria sobre com les matemàtiques poden ajudar a entendre millor ‘Joc de Trons’.

Keith Devlin. Sí. Hi ha hagut un o dos estudis sobre ‘Joc de Trons’. Jo en vaig fer un fa un parell d’anys. En realitat van ser uns estudiants universitaris de l’Oest Mitjà estatunidenc. Van utilitzar les matemàtiques que es fan servir per analitzar les xarxes de cèl·lules terroristes. És una cosa molt complexa. Com analitzaries una cèl·lula terrorista per saber qui és el seu líder, qui són les persones involucrades? De fet, així es poden atrapar molts terroristes, analitzant les seves xarxes i descobrint el tipus de patrons que solen tenir les seves cèl·lules.

O sigui, els mètodes que utilitzem per entendre qui són les persones clau. I això només es pot fer observant els patrons matemàtics de les xarxes. Alguns estudiants dels Estats Units, fa dos o tres anys, ho van aplicar a ‘Joc de Trons’ i van dir: “estan matant a tots aquests personatges. Qui seria el més difícil de matar sense espatllar la sèrie? Qui és la persona més important en termes de xarxes? Si mates aquella persona, no hi hauria un sol ‘Joc de Trons’, sinó que hi hauria molts ‘Jocs de Trons’. Van fer l’anàlisi i van obtenir un resultat: “aquesta és la persona a qui no es pot matar”.

No diré qui és per si algú no ha vist la sèrie. Però el més interessant, des del meu punt de vista, és que aquesta va ser una manera realment divertida, emocionant i atractiva de conscienciar la gent sobre el tipus de matemàtiques que utilitzen avui dia els serveis de seguretat de tot el món per protegir els seus països dels atacs terroristes. Es van desenvolupar amb aquest objectiu. I aquestes tècniques es poden fer servir per a tot tipus de coses, com la venda online, etcètera. Però també es poden aplicar a les sèries de televisió.

Hi ha un altre estudi que s’ha fet fa poc. Uns investigadors d’Austràlia van utilitzar les matemàtiques de l’epidemiologia i sobre la propagació de malalties i les van aplicar a ‘Joc de Trons’ per veure com es podien desenvolupar les diverses línies argumentals i com podien acabar els diversos personatges. I, de nou, la part bona d’això és que demostra que les matemàtiques realment es poden aplicar pertot arreu. Si es poden aplicar en una cosa com la vida i la mort, dins de l’entreteniment, es poden aplicar a qualsevol cosa.

Zuberoa Marcos. Una altra connexió que m’ha sorprès molt són les similituds entre Fibonacci i Steve Jobs.

Keith Devlin. Sí, això per a mi va ser una revelació. Jo vaig estar treballant durant uns quants anys en una història de Fibonacci, que va ser l’inici del món modern, ja que Fibonacci, que es deia Leonardo de Pisa, al segle XIII, va escriure un llibre que realment va ser l’origen del món occidental modern. Va agafar la idea de l’aritmètica indoaràbiga, que es va desenvolupar a l’Índia el segle VI o VII de la nostra era, que van portar els comerciants àrabs i perses que anaven i venien per la ruta de la seda i van portar aquest mètode d’aritmètica indoaràbiga amb deu dígits de les matemàtiques modernes. L’utilitzaven per comerciar, el van estendre i van introduir una cosa que ara coneixem com a “àlgebra”, que ve de la paraula àrab “al-Jabr”.

Fibonacci, de jove, amb 17 o 18 anys, viatja per visitar el seu pare, que havia anat de Pisa al nord d’Àfrica per representar els comerciants pisans i ocupar-se del comerç mediterrani. Ell els veu utilitzar això i diu: “vaja, això és formidable. Això pot canviar el món”. I quan torna a Itàlia, amb vint-i-pocs anys, torna a Pisa, escriu un llibre descomunal explicant fil per randa com fer aquest nou tipus d’aritmètica, com fer aritmètica amb deu dígits i la notació posicional amb un zero. La nostra forma d’entendre l’aritmètica en l’actualitat la va introduir ell al món occidental a principis del segle XIII. I, en poques dècades, això va suposar l’inici de la banca, de les assegurances, dels conglomerats comercials internacionals, dels sistemes legals moderns… Tot això ve de la Toscana a principis del segle XIII. I la guspira que ho va encendre i el combustible que va mantenir encès el foc d’aquesta revolució va ser l’aritmètica indoaràbiga. Ell va canviar completament el món al segle XIII.

També va escriure molts altres llibres populars sobre matemàtiques, per això em vaig interessar per ell. Era un divulgador, així que el veia com algú que havia dedicat molt de temps fent una cosa a la qual jo també havia dedicat gran part de la meva carrera. Així que sempre vaig voler escriure un llibre d’història sobre ell. I pels volts de l’any 2000, just després de tornar a Stanford, vaig dir: “escriuré aquest llibre”.

Pujava a un avió a San Francisco, a Silicon Valley, i aterrava normalment a Pisa. Em ficava en aquest món del segle XIII i pensava en Fibonacci i en el que va fer, i vaig anar coneixent la història de Fibonacci. I després de dos o tres anys de fer això, de cop vaig pensar: “aquesta és la revolució de Silicon Valley de fa 800 anys”. La història era exactament la mateixa. Així que, en un moment donat, vaig agafar de la meva prestatgeria llibres sobre Silicon Valley: el de Steven Levy, ‘Insanely great’, que tracta de la invenció del Macintosh. També vaig llegir altres llibres sobre la invenció del Macintosh i el PC.

I vaig comparar aquells relats de Silicon Valley als anys 70, 80 i 90, els vaig llegir tots i els vaig comparar amb tota la meva investigació sobre Fibonacci. I no era només vagament similar, sinó que el primer pas era el mateix, el segon pas era el mateix, el tercer, també. Era exactament la mateixa història i vaig dir: “ho personalitzarem en Steve Jobs”. Perquè va ser ell qui va agafar la informàtica personal… Ell no la va inventar. En realitat, ell no va inventar res, però va ser qui la va convertir en un producte de consum. Al segle XIII, Fibonacci va agafar una cosa que algú havia inventat, l’aritmètica moderna, i la va convertir en un producte de consum. Ell la va explicar i la va presentar d’una manera que la gent comuna pogués utilitzar-la. Per tant, va ser una revolució del càlcul mental i sobre el paper.

Steve Jobs va fer el mateix amb el Macintosh. La similitud entre aquestes dues històries és extraordinària. Als que vivim a Silicon Valley ens agrada pensar que estem fent una cosa totalment nova. Doncs no, es va fer el mateix al segle XIII, fins l’últim detall. La diferència és que al segle XIII la gent utilitzava el cap com a dispositiu de computació i en l’actualitat la gent utilitza xips de silici que es troben en un dispositiu. Però la història és la mateixa.

Zuberoa Marcos. Keith, hi ha un últim exemple que m’agradaria que compartissis amb nosaltres. En realitat, en aquest cas, m’agradaria que desmentissis o corroboressis el mite de la proporció àuria. S’ha dit que darrere el Partenó, darrere les piràmides, fins i tot darrere el logotip d’Apple, hi ha la idea matemàtica de la proporció àuria, que és el que fa que les obres d’art siguin belles. Això és cert o no?

Keith Devlin. No, això és una ximpleria, per això no he pogut evitar riure mentre ho deies. És una d’aquelles històries que tenen vida pròpia. Aquesta història sobre la proporció àuria i la bellesa va ser inventada al segle XIX per un divulgador científic alemany que va descobrir que podia vendre llibres inventant aquestes històries que vinculaven la bellesa amb la divinitat, amb Déu i amb les matemàtiques, i va escollir l’anomenada “proporció àuria”. I tot aquest mite va sorgir a partir d’això i va cobrar vida pròpia. Altres matemàtics i jo, durant 15 o 20 anys, ens hem estat esforçant molt a desmentir-ho i dir: “no, això és una ximpleria”. I és una ximpleria en uns quants nivells.

Especialment perquè la proporció àuria, en realitat, no és un nombre enter dividit per un altre, no és una proporció en absolut. Així que si construeixes una cosa i la construeixes conforme a unes proporcions determinades, mai serà la proporció àuria perquè la proporció àuria és com anomenem a qualsevol nombre racional, i no funciona d’aquesta manera. Però sigui com sigui, si vols fer afirmacions sobre la proporció àuria en les arts, la música, etcètera, has d’aportar proves. No pots fer una afirmació sense proves. Estem parlant de ciència, no de creences religioses.

Ningú ha presentat cap prova a favor, però hi ha moltes proves en contra. Era un dels exercicis que solia fer amb estudiants durant molts anys a la classe de matemàtiques. Jo impartia moltes classes de matemàtiques per als que no eren de ciències i sempre hi havia molts artistes, etcètera. M’agradava ensenyar-los. Jo entrava amb un tros de paper en el qual hi havia dibuixats, per ordinador, tota una sèrie de rectangles de proporcions diferents i els deia: “heu sentit tots la història sobre la proporció àuria?”. “És clar que sí, la conec”. “Expliqueu-me què en sabeu”. “En l’art, és el rectangle més bonic”. I llavors jo deia: “d’acord, és el rectangle més bonic. Vosaltres sou artistes, teniu un bon sentit estètic. Mireu aquest full i marqueu el rectangle que tingui la proporció àuria, el que us sembli més agradable. Quin rectangle us sembla més agradable estèticament?”.

El rectangle que ningú escull mai és el que té la proporció àuria. La gent no el troba atractiu. Els sembla massa ample, però no prou. No són quatre terços i no són setze novens. És una altra cosa i no és atractiu. Així que un simple experiment demostra que no és el rectangle més agradable. Pot ser que hagi sigut el rectangle més agradable en algun moment i, de fet, el Partenó s’apropa bastant a la proporció àuria, perquè la proporció àuria és una mica més que un mig.

Així que moltes coses són de tres a dos… Per exemple, Leonardo da Vinci, en molts dels seus dibuixos, utilitzava el tres a dos, que és una proporció molt bona. Però la proporció àuria s’apropa, potser el suficient, però no és exacta. Així que si vols fer una afirmació sobre la proporció àuria, has d’aportar alguna prova de per què aquest nombre en particular és important. Si és important simplement perquè és a prop d’u i mig, doncs digues que és per això, és l’explicació més simple de per què la gent troba les coses atractives. Així que no hi ha proves d’això.

Però hi ha molt a dir sobre la proporció àuria. Està molt present al món natural. Si surts al jardí, veuràs la proporció àuria i els nombres de Fibonacci pertot arreu. La proporció àuria és un nombre important per dret propi. És un nombre interessant des del punt de vista matemàtic i té relació amb la natura, amb les coses vives. Amb el que no té relació és el sentit de l’estètica i la bellesa de la gent.

Hi ha alguns casos en els quals la gent l’ha utilitzat explícitament en l’arquitectura i en la música. Però això és perquè volien introduir-lo deliberadament. Pensem que Debussy, i hi ha proves que ho confirmen, intentava introduir deliberadament la proporció àuria en algunes de les seves obres. Alguns pintors també han intentat fer-ho. Però ho han fet deliberadament, no per l’estètica, sinó perquè era un nombre interessant matemàticament.

Als matemàtics els agrada la proporció àuria perquè és interessant matemàticament i és clar que està molt present en el món de les plantes, les flors, etcètera. Està present en l’estètica humana, en l’arquitectura…? Només si hi ha sigut introduïda deliberadament, i no és perquè tinguem un sentit innat de la bellesa que faci que la proporció àuria ens atregui. De fet, el rectangle que a la gent li sol semblar més atractiu és el que més coneix, que sol ser la forma del televisor o la de la pantalla de l’ordinador, o la de l’iPad, la de l’iPhone.

Els rectangles amb els quals passem molt temps són els que trobem més atractius. Així que és possible que en els temps de l’antiga Grècia, a causa de la forma en què es construïen els edificis, la majoria dels edificis s’aproximessin a la proporció àuria. Però no hi ha absolutament cap prova que els arquitectes del Partenó o qualsevol altra cosa l’utilitzessin explícitament. I si ens remuntem a les piràmides, no hi ha proves que ningú d’aquella època sabés ni tan sols de l’existència de la proporció àuria. No es coneixia. Que sapiguem, la van inventar els grecs pels volts de l’any 300 abans de Crist com a solució a una equació de segon grau, res més.

Zuberoa Marcos. Keith, tots aquests exemples són genials i, òbviament, ajuden a fomentar aquest interès cap a les matemàtiques que és tan necessari. De fet, reconèixer que no tens facilitat per a les matemàtiques és com posar-te una medalla. Però abans has mencionat una idea preciosa, que això és així perquè la manera en què ensenyem matemàtiques a l’escola no ajuda a arribar a aquesta fase creativa que et va ajudar a desenvolupar el teu amor per les matemàtiques. Llavors, quin seria el teu consell perquè els estudiants puguin arribar a aquest lloc o estat mental?

Keith Devlin. Ara estem vivint en un món molt diferent a causa de la tecnologia. Així que el meu consell és que no escoltis els teus pares. Ells vivien en un món diferent on els professionals feien matemàtiques d’una manera diferent, on calia ensenyar-les i aprendre-les d’una manera diferent. Les matemàtiques no han canviat des de fa milers d’anys. Per ficar-te en matemàtiques havies de ser bo en aritmètica, havies de ser bo en àlgebra, havies d’aprendre a fer un munt de càlculs algorítmics procedimentals. Era així. Si no aprovaves el més bàsic en tots els cursos, mai podies anar més enllà.

Era l’única manera d’entrar-hi. I la raó era que no hi havia màquines ni dispositius, no hi havia tecnologia que fes tot això per nosaltres. Als anys 60, van aparèixer les calculadores electròniques, calculadores digitals i, llavors, al llarg dels anys 60, 70 i 80, van aparèixer tecnologies més sofisticades. De manera que cap a finals dels 80 i principis dels 90, totes les matemàtiques que s’ensenyaven fins el primer curs de la carrera de matemàtiques, totes aquelles matemàtiques s’han automatitzat, són accessibles. Pots fer-les al teu “smartphone”, al núvol… Ara tenim màquines per fer tot això.

És com quan es va inventar l’automòbil, que va deixar de ser necessari saber com cuidar-se d’un cavall, donar-li menjar, raspallar-lo, assegurar-se que gaudeix d’una bona salut i aprendre a muntar-lo. Van arribar els automòbils i els cavalls van desaparèixer. Quan aprens a conduir, ni tan sols has d’aprendre sobre el manteniment d’un automòbil perquè hi ha experts que se n’encarreguen. Va passar el mateix en les matemàtiques a finals dels anys 80 i principis dels 90. Van aparèixer tecnologies que podien fer-ho tot: àlgebra, càlcul, probabilitats… Bàsicament tot el que era de procediment. Si alguna cosa en les matemàtiques implica fer el pas u, dos, tres… Ara la fan els ordinadors. Això significa que per arribar a ser matemàtic no és necessari dominar el càlcul, ja que hi ha eines per fer-ho. El que has d’aprendre ara és a utilitzar aquestes eines.

A mi m’agrada descriure-ho en termes de música, és una de les meves analogies preferides. Al llarg de moltes generacions, ser matemàtic era com aprendre a tocar en una orquestra. Havies d’aprendre a tocar el violí, el piano, el violoncel i la bateria. Com més instruments toquessis, millor matemàtic series. Els instruments eren: l’aritmètica, l’àlgebra, la trigonometria, la geometria, el càlcul, la teoria de la probabilitat, les equacions diferencials… Totes aquestes coses eren com els instruments de l’orquestra.

Des de principis dels 90, ser matemàtic és com ser un director d’orquestra. No has de tocar cap dels instruments, només els has d’entendre. Un director d’orquestra ha de saber el que pot fer cada instrument, quines són les seves limitacions, com unir-los i com assegurar-se que s’uneixen per formar un so coherent i agradable. Així que es requereix molta habilitat musical per ser director d’orquestra, però per ser-ho no cal dominar tots els instruments. Les matemàtiques, ara, són així. Ja ningú fa càlculs matemàtics a mà, els fan les màquines. Ser matemàtic avui dia consisteix a dirigir una meravellosa orquestra d’instruments. Ara bé, el director d’orquestra haurà d’aprendre un o dos instruments per arribar fins allà. No pots convertir-te en director d’orquestra del no-res, has de tenir un coneixement profund de la música. Passa el mateix amb les matemàtiques. Així que per ser un matemàtic avui dia, has d’aprendre aritmètica, és clar, potser una mica d’àlgebra, però no gaire, perquè tots els càlculs els fan les màquines.

No cal que els humans tinguem facilitat per a això. No cal que entrenem la nostra ment per ser una calculadora. És avorrit. Un dels motius pels quals a la gent no li agrada és perquè fer càlculs és avorrit. És fer un pas, després un altre, després un altre… És el més allunyat que hi ha de la creativitat. Els éssers humans són creatius. És clar que no ens agrada fer el pas u, després el dos i després el tres… Ho aguantem tot el temps que calgui per aconseguir el resultat que estiguem buscant.

Però ara el món és diferent i no és necessari forçar-se d’aquesta manera. Simplement has de ser creatiu i dir: “vull ser capaç de fer això. Bé, això requereix una cosa anomenada càlcul, això requereix una cosa anomenada trigonometria. Apa, si tinc un programa de trigonometria al meu ordinador, i tinc un programa de càlcul. Aprendré el suficient sobre aquests programes per poder utilitzar-los i fer alguna cosa més enllà d’això”.

Zuberoa Marcos. Keith, tu has creat jocs per ensenyar matemàtiques. Dius que els jocs són bons també per aprendre matemàtiques. Parla’m més sobre això.

Keith Devlin. Sí, en realitat jo, fa molt de temps, al Regne Unit, quan les meves filles anaven a l’escola… Estaven començant a aparèixer els primers ordinadors personals, a principis dels anys 80. En aquell temps vaig escriure un parell de jocs senzills de matemàtiques perquè vaig pensar: “això és interessant. A veure si puc fer alguns jocs de geometria per a les meves filles”. I les meves dues filles, que eren unes estudiants entusiastes, eren molt aplicades, llegien molt i s’esforçaven molt, van quedar completament captivades per aquests videojocs. Passaven hores jugant a aquests jocs.

I aleshores vaig pensar: “d’acord, he fet aquests dos petits videojocs intranscendents, però si jo fos capaç de ficar-me en aquest món i crear bons videojocs sobre matemàtiques reals, no només unes matemàtiques senzilles, sinó matemàtiques serioses, atesa la motivació que desperten, és una aposta segura per aprendre matemàtiques, una assignatura tan difícil. Si es poden convertir les matemàtiques difícils en un videojoc desafiador i atractiu, llavors és gairebé segur que els nens aprendran matemàtiques”.

Suposem que vols aprendre música. Vols aprendre a tocar el piano o alguna cosa així. I el professor de piano o de guitarra et diu: “bé, primer has d’aprendre aquesta notació musical. Passarem un semestre sencer aprenent a llegir i a escriure música. I després passarem un altre semestre sencer practicant escales al piano o amb la guitarra. I quan hagis après totes les coses bàsiques, et deixarem tocar una mica de música”.

No gaire gent es convertiria en músic. Sona avorrit i tediós, però també sona com la classe de matemàtiques. “Aprendrem a fer aritmètica, després geometria, després trigonometria, etcètera. Quan hagis après tot això, llavors podràs ajuntar-ho tot per fer totes les coses divertides”. No és gens estrany que a la gent no li agradi. Així que vam decidir que els nostres jocs fossin l’equivalent dels instruments.

Per què agraden els instruments? En primer lloc, perquè sents la música, l’escoltes i interactues amb ella físicament. Estàs literalment ficat en la música. I la música és real facis el que facis, és una cosa tangible, proporciona un accés directe a ella. No et fiques en la música a través de la partitura. Pot ser que tinguis una partitura sobre el piano, o a la guitarra, o potser tens una partitura aquí sota, però només per fer-hi un cop d’ull, en realitat estàs sentint la música. Així que vam dissenyar aquests instruments de manera que puguis tenir les fórmules a mà.

Però per resoldre aquests problemes matemàtics, el que fas és interactuar amb l’instrument de la mateixa manera que un guitarrista tocaria la guitarra o un pianista tocaria el piano. Ara tenim jocs. El primer consistia a fer aritmètica com si fos un instrument. Amb una beca que ens van concedir, vam construir un instrument per fer fraccions. Després vam construir un altre instrument per fer equacions algebraiques. Som a prop de construir-ne més per realitzar estimacions i altres coses. Però el disseny pel qual ens guiem és el d’un instrument musical. Què cal perquè un instrument musical tingui èxit? Ha de tenir una interfície que sigui natural i que et permeti sentir la música. Quan pressiones les tecles del piano, sents la música. Si és un piano de veritat, fins i tot pots sentir les vibracions.

La gent parla de “tocar” el piano. No parlen de “treballar” amb el piano o de “resoldre” el piano, el toquen. Encara que s’estiguin esforçant molt, és com un joc. Els videojocs es juguen, i nosaltres volem que es “jugui” a videojocs de matemàtiques. Ha de ser un joc, tant en el sentit de l’execució com en el sentit que sigui una activitat agradable. Així són els jocs.

Zuberoa Marcos. Keith, a més a més dels videojocs, quines altres eines digitals creus que són útils perquè els joves, els nens i fins i tot els adults aprenguin matemàtiques?

Keith Devlin. L’eina que utilitzo, abans de tot, és Google. Google és l’eina més poderosa del món per fer qualsevol cosa. Si he de resoldre algun problema… Com que fa molt temps que estic ficat en això, m’he trobat amb molts problemes i he treballat molt per al Departament de Defensa i d’Indústria dels Estats Units.

En general, són problemes diferents i no hi estic familiaritzat. A vegades puc mirar els problemes i dir: “sí, sé com resoldre’l”. Però sovint no ho sé. Així que el primer que faig quan tinc un problema, això em va passar quan vaig estar treballant per al Departament de Defensa en un munt de projectes. Mires el problema que ells et plantegen i jo em fico a Google i hi introdueixo les paraules clau. I de seguida em surten referències a algunes investigacions recents i articles acadèmics. Solc limitar la cerca de Google als últims cinc anys i veig què s’ha publicat.

I després, molt ràpidament, puc aprendre el que necessiti. En fer-ho, em trobo amb termes que he de buscar a Google per comprendre’ls. Després he d’aprofundir-hi una mica més, així que utilitzo la Viquipèdia per buscar les definicions d’aquests termes, recorro a YouTube… Avui dia, si vols aprendre qualsevol cosa de matemàtiques, hi ha un vídeo de YouTube que te l’explica. Només has de saber com es diu el que vols aprendre. Si saps que és una cosa anomenada “programació lineal”, entres a YouTube i hi escrius: “programació lineal”. I et surten 50 vídeos, que poden ser de la Khan Academy o d’altres. Així que pots veure un vídeo de 15 o 20 minuts i te’n pots fer una idea general, pots trastejar una mica…

Tenim totes aquestes eines de cerca, començant per Google, seguit de la Viquipèdia i de YouTube. I després hi ha eines més sofisticades per fer matemàtiques. Si necessito fer càlculs, utilitzo una cosa anomenada Wolfram Alpha, que m’agrada perquè té una interfície molt senzilla. Wolfram Alpha és per a les matemàtiques el que Google és per als documents. Google et permet buscar paraules per trobar documents o imatges.

Wolfram Alpha et permet buscar problemes matemàtics. Té una interfície senzilla en la qual només s’ha d’introduir el que busques. Wolfram Alpha no només et troba el mètode, sinó que l’aplica i et dona la resposta, resol el problema. Introdueixes el problema i la resposta apareix instantàniament. Així que puc arribar molt ràpidament a la resolució del problema per després presentar un informe. Tot és allà, a les eines, així dirigim l’orquestra de la qual parlava abans.

Zuberoa Marcos. M’encanta la idea que, com que tenim aquestes eines, podem deixar de fer molts càlculs mentals, però em sorgeix un dubte: quines són les matemàtiques a les quals no podem renunciar, per dir-ho d’aquesta manera, les que encara necessitem per navegar per un futur que és completament desconegut?

Keith Devlin. D’acord. Seré una mica radical. Aquesta idea no és meva, és una idea que circula des de fa unes quantes dècades. Si desenvolupes l’aritmètica de la manera correcta, i l’única cosa que els nens aprenen en tota la seva vida escolar és aritmètica, però fem que aconsegueixin un coneixement profund, que aprofundeixin cada vegada més en l’aritmètica i la comprenguin cada vegada més a fons, arribats a aquest punt, és molt fàcil canviar el focus cap a la trigonometria o la geometria. En altres paraules, si aprens aritmètica correctament, pots recórrer a la web, a Google, a la Viquipèdia, a YouTube, i aprendre qualsevol cosa pel teu compte. I això és important perquè els tipus de matemàtiques que s’utilitzen al món d’avui estan canviant tan ràpidament amb la tecnologia i amb els canvis de la societat que el que s’ensenya a l’escola, aquelles matemàtiques en concret, probablement no serà rellevant, ho serà una altra cosa.

Així que l’habilitat per utilitzar les matemàtiques avui dia consisteix a fer dues coses: tens un problema… I no importa si ets enginyer o el que sigui. Si et trobes amb un problema, primer has d’utilitzar Google o el que sigui per trobar la branca de les matemàtiques que s’adapti millor a aquest problema. Gairebé és segur que serà alguna cosa que ni tan sols existia quan anaves a l’escola. I després aprens pel teu compte utilitzant aquests recursos. Si has après aritmètica suficientment bé durant uns quants anys i hi has aprofundit, has après totes les habilitats per fer les matemàtiques que necessites en altres disciplines.

És com si aprenguessis a pintar una casa i la pintessis de blanc. I després la tornessis a pintar de blanc. Passes uns quants anys aprenent a pintar la casa però sempre la pintes de blanc. Però ho fas cada vegada més detalladament, ets més curós, evites que les finestres es taquin de pintura, cada cop hi tens més facilitat, però estàs pintant la casa de blanc. Suposem que et tornes a casar i la teva nova muller et diu: “vull que la casa sigui blava”. Tot el que has de fer és comprar pintura blava i aplicar les habilitats que ja tens. Les matemàtiques són així.

Zuberoa Marcos. El que m’estàs dient és una cosa que has tractat en alguns dels teus llibres, que les matemàtiques no consisteixen necessàriament a resoldre una equació o un problema, sinó a crear una manera de pensar que puguis aplicar a diferents aspectes.

Keith Devlin. Exacte.

Zuberoa Marcos. No és el mateix el pensament matemàtic que fer matemàtiques.

Keith Devlin. Exacte, sí. La raó per la qual vaig començar a utilitzar el terme “pensament matemàtic”… De fet, jo vaig crear el primer curs online de matemàtiques del món aquí, a Stanford, l’any 2012, i el vaig anomenar “Introducció al pensament matemàtic”.

I si el vaig anomenar així en comptes de només “Matemàtiques” va ser per emfatitzar que el curs, com totes les matemàtiques que es fan avui dia a tot el món, tracta d’una manera de pensar. Es tracta d’una manera de pensar sobre el món. I el món en el qual estem pensant podria ser el món de les matemàtiques en si mateix. Quan les matemàtiques s’apliquen sobre elles mateixes les anomenem “matemàtiques pures”. Quan s’apliquen al món, les anomenem “matemàtiques aplicades”, però en essència són el mateix. Són una manera de pensar. Ara bé, durant milers d’anys, quan l’única manera de convertir-se en matemàtic era aprendre a calcular, quan un estava fent matemàtiques i havia de fer càlculs, havia de fer-los literalment.

Així que la major part del que els matemàtics han fet al llarg de la història, la major part del temps el dedicaven a fer càlculs. La major part del temps en una classe de matemàtiques es dedicava a aprendre a fer càlculs. Així que, al llarg dels segles, la gent va començar a pensar que les matemàtiques consistien a fer càlculs. Això és el mateix que dir que l’arquitectura consisteix a posar maons perquè, al final, cal posar ciment i posar els maons. Però, naturalment, no és així. Es tracta de tota la creativitat en el disseny de l’edifici, d’entendre l’ús que es dona als edificis… Però la realitat és que al disseny de l’edifici s’hi dedicaran uns mesos i la gent que el construeix passarà mesos o anys construint-lo físicament. Així que, fins i tot en l’arquitectura, la major part del temps s’empra per construir prestant atenció als detalls, mentre que el disseny és el més divertit. Això és el que passava amb les matemàtiques.

Així que no és gens estrany que quan sentim la paraula “matemàtiques” avui dia pensem en gent escrivint fórmules i resolent equacions, perquè durant milers d’anys això és el que es feia la major part del temps. Ara bé, durant aquell període, els matemàtics reals sabien que això no era el més important, que això només era l’eina que havien d’utilitzar. I havien d’utilitzar els seus propis cervells per fer els càlculs i desenvolupar el pensament per entendre el que era correcte i el que no ho era per obtenir respostes a les preguntes. Però ells sabien que el més important de les matemàtiques era el pensament. Però la majoria dels seus estudiants i els estudiants de les escoles no ho sabien perquè no anaven més enllà dels càlculs per arribar al pensament creatiu. Així que la majoria de la gent no té ni idea que el que fan a la classe de matemàtiques és només la mecànica.

Durant milers d’anys hem dit: “és una llàstima que l’única manera de convertir-se en matemàtic sigui aprendre totes aquestes coses”. Això va deixar de ser així a finals dels anys 90, ara ho fan les màquines. Així que no hi ha la necessitat de passar molt de temps a la classe de matemàtiques dominant tots aquests algoritmes, podem concentrar-nos en tota la resta. Però com que sé que la paraula “matemàtiques” evoca l’ús de fórmules, vaig començar a utilitzar explícitament, igual que alguns col·legues meus, el terme “pensament matemàtic” per deixar clar que el més important és el pensament i ens centrarem en això.

Fer matemàtiques avui dia és dirigir una orquestra tecnològica, amb totes les habilitats que això requereix, amb tota la creativitat que implica i tota la diversió que comporta.

Zuberoa Marcos. Moltíssimes gràcies, Keith.

Keith Devlin. Ha sigut tot un plaer.